| Autor |
Beitrag |
    
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1773
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Mai, 2005 - 14:02: | 
|
Hi,
bekomme folgenden Grenzwert nicht berechnet:
Sei F: C([-1,1]) -> IR , F(f)=ò-1 1 f2(t) dt
Ich will nun die Ableitung berechnen:
F'(f)=limr->0 (F(f+r*h)-F(f))/r
Aber dann bekäme ich ja:
F'(f)=2*ò-1 1 f(t)*h(t) dt
Kann das sein? Oder mache ich einen Fehler? |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1139
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Mai, 2005 - 19:35: |
|
Ich kenne mich auf dem Gebiet nicht ganz so aus, aber müsste es nicht eigentlich
F'(f)= limh->0[F(f+h)-F(f)]/h
sein, wobei h eine Funktionsfolge ist, die gegen die Nullfunktion konvergiert? Wenn das so ist, würde man mit L'Hospital eventuell weiterkommen. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1774
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 21. Mai, 2005 - 23:19: |
|
Hi,
ja kann gut sein. Deswegen auch der Hinweis, dass C([-1,1]) mit der Supremumsnorm ausgestattet ist. Konvergenz bzgl dieser Norm ist ja die glm Konvergenz!
Ich komme dass aber auch nicht viel weiter:
F'(f)=limh->0 (ò-1 1 f(t)*h(t) dt + ò-1 1 h2(t) dt)/||h(t)||
oder man könnte ja auch
limn->¥ (F(f+hn)-F(f))/||hn||
betrachten, müsste auf gleiche kommen, wenn h gegen Null konvergiert! Aber hier komme och nicht weiter. Das Produkt im Integral...man müsste das h irgenwie herausbekommen um mit der Norm von h zu kürzen.
Geht das irgenwie mt den Integralsätzen? Ich bekomme es einfach nicht hin!
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1828
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Mai, 2005 - 09:17: |
|
Hallo Ferdi
Bist du dir sicher, dass die Ableitung Überhaupt existiert?
Nehmen wir mal den Ansatz mit der Folge (hn)
Es gilt
lim(n->¥) (F(f+hn)-F(f))/||hn||
=lim(n->¥) (ò-1 1 2*f(t)*hn(t)/||hn|| dt + ò-1 1 hn(t)2/||hn|| dt )
Klar geht das rechte Integral gegen Null. Bleibt also noch
lim(n->¥) (ò-1 1 2*f(t)*hn(t)/||hn|| dt)
zu berechnen.
Jetzt wÜhlen wir mal zwei spezielle Folge.
1) hn(t)=1/n
Offenbar konvergiert hn gleichmÜÜig gegen Null. Es ist jetzt aber hn(t)/||hn(t)||=1, also ist der Grenzwert oben
ò-1 1 2*f(t) dt
2) hn(t)=0 fÜr t aus [-1,0] und t/n fÜr t aus [0,1]
Dann ist
hn(t)/||hn(t)||=0 fÜr t aus [-1,0] und t fÜr t aus [0,1]. Unser Grenzwert oben wird zu
ò0 1 2t*f(t)dt
Das ist im Allgemeinen aber verschieden vom Grenzwert bei 1)
Wenn kein Fehler in der Rechnung ist wÜrde daraus folgen, dass die Funktion F nicht differenzierbar ist.
MfG
Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1775
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Mai, 2005 - 10:48: |
|
Hi Christian,
das ist eine gute Überlegung!
Vielleicht hätte ich die Aufgabensellung dazuschreiben sollen:
Wo sind folgende Funktionen differenzierbar? Finden sie dort Df!
Also kann es gut sein das die Funktion F nicht diffbar ist. Darüber hatte ich mir bisher gar kein Gedanken gemacht.
Deine Idee ist aber gut nachvollziehbar! Danke für deine Hilfe!
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1776
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Mai, 2005 - 21:36: |
|
Hi Christian,
wir lagen beide falsch. F ist sehr wohl diffbar.
Mit der von mir vermuteten Ableitung:
DfF(h)=2*ò-1 1f(t)*h(t) dt
D.h. L : C([-1,1]) -> IR ; L(h) = 2*ò-1 1 f(t)*h(t) dt
Man muss dann zeigen dass:
limh->0 (F(f+h)-F(f)-L(h))/||h|| = 0
ist! Und das ist der Fall!
Hat mir der Prof heute so gezeigt!
Wollte dir nur bescheid sagen!
mfg |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1831
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Mai, 2005 - 15:37: |
|
Hi Ferdi
Da haben wir wohl den falschen Grenzwert berechnet
Dein Prof hat natÜrlich recht.
MfG
Christian |
