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Tl198 (Tl198)

Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1773 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 21. Mai, 2005 - 14:02: |
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Hi,
bekomme folgenden Grenzwert nicht berechnet: Sei F: C([-1,1]) -> IR , F(f)=ò-1 1 f2(t) dt Ich will nun die Ableitung berechnen: F'(f)=limr->0 (F(f+r*h)-F(f))/r Aber dann bekäme ich ja: F'(f)=2*ò-1 1 f(t)*h(t) dt Kann das sein? Oder mache ich einen Fehler? |
   
Ingo (Ingo)

Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 1139 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Samstag, den 21. Mai, 2005 - 19:35: |
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Ich kenne mich auf dem Gebiet nicht ganz so aus, aber müsste es nicht eigentlich F'(f)= limh->0[F(f+h)-F(f)]/h sein, wobei h eine Funktionsfolge ist, die gegen die Nullfunktion konvergiert? Wenn das so ist, würde man mit L'Hospital eventuell weiterkommen. |
   
Tl198 (Tl198)

Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1774 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 21. Mai, 2005 - 23:19: |
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Hi,
ja kann gut sein. Deswegen auch der Hinweis, dass C([-1,1]) mit der Supremumsnorm ausgestattet ist. Konvergenz bzgl dieser Norm ist ja die glm Konvergenz! Ich komme dass aber auch nicht viel weiter: F'(f)=limh->0 (ò-1 1 f(t)*h(t) dt + ò-1 1 h2(t) dt)/||h(t)|| oder man könnte ja auch limn->¥ (F(f+hn)-F(f))/||hn|| betrachten, müsste auf gleiche kommen, wenn h gegen Null konvergiert! Aber hier komme och nicht weiter. Das Produkt im Integral...man müsste das h irgenwie herausbekommen um mit der Norm von h zu kürzen. Geht das irgenwie mt den Integralsätzen? Ich bekomme es einfach nicht hin! mfg |
   
Christian_s (Christian_s)

Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1828 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Mai, 2005 - 09:17: |
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Hallo Ferdi Bist du dir sicher, dass die Ableitung Überhaupt existiert? Nehmen wir mal den Ansatz mit der Folge (hn) Es gilt lim(n->¥) (F(f+hn)-F(f))/||hn|| =lim(n->¥) (ò-1 1 2*f(t)*hn(t)/||hn|| dt + ò-1 1 hn(t)2/||hn|| dt ) Klar geht das rechte Integral gegen Null. Bleibt also noch lim(n->¥) (ò-1 1 2*f(t)*hn(t)/||hn|| dt) zu berechnen. Jetzt wÜhlen wir mal zwei spezielle Folge. 1) hn(t)=1/n Offenbar konvergiert hn gleichmÜÜig gegen Null. Es ist jetzt aber hn(t)/||hn(t)||=1, also ist der Grenzwert oben ò-1 1 2*f(t) dt 2) hn(t)=0 fÜr t aus [-1,0] und t/n fÜr t aus [0,1] Dann ist hn(t)/||hn(t)||=0 fÜr t aus [-1,0] und t fÜr t aus [0,1]. Unser Grenzwert oben wird zu ò0 1 2t*f(t)dt Das ist im Allgemeinen aber verschieden vom Grenzwert bei 1) Wenn kein Fehler in der Rechnung ist wÜrde daraus folgen, dass die Funktion F nicht differenzierbar ist. MfG Christian |
   
Tl198 (Tl198)

Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1775 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 22. Mai, 2005 - 10:48: |
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Hi Christian,
das ist eine gute Überlegung! Vielleicht hätte ich die Aufgabensellung dazuschreiben sollen: Wo sind folgende Funktionen differenzierbar? Finden sie dort Df! Also kann es gut sein das die Funktion F nicht diffbar ist. Darüber hatte ich mir bisher gar kein Gedanken gemacht. Deine Idee ist aber gut nachvollziehbar! Danke für deine Hilfe! mfg |
   
Tl198 (Tl198)

Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1776 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 24. Mai, 2005 - 21:36: |
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Hi Christian,
wir lagen beide falsch. F ist sehr wohl diffbar. Mit der von mir vermuteten Ableitung: DfF(h)=2*ò-1 1f(t)*h(t) dt D.h. L : C([-1,1]) -> IR ; L(h) = 2*ò-1 1 f(t)*h(t) dt Man muss dann zeigen dass: limh->0 (F(f+h)-F(f)-L(h))/||h|| = 0 ist! Und das ist der Fall! Hat mir der Prof heute so gezeigt! Wollte dir nur bescheid sagen! mfg |
   
Christian_s (Christian_s)

Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1831 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 25. Mai, 2005 - 15:37: |
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Hi Ferdi Da haben wir wohl den falschen Grenzwert berechnet Dein Prof hat natÜrlich recht. MfG Christian |