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Beitrag |
    
karl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 11:13: | 
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Hallo!
Würde noch mal Hilfe brauchen und zwar ist:
f(1/(4-x^2+(4-x^2)^1/2) dx
Danke für eure Mühe
Karl |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1018
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 14:41: |
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karl,
Vorschlag:
Schreibe den Integranden f(x) wie folgt um:
f(x) = 1/sqrt(4-x2) - 1/[1+sqrt(4-x2)] =
1/sqrt(4-x2) - 1/(x2-3)
+ sqrt(4-x2)/(x2-3).
Die Integrale
ò 1/sqrt(4-x2) dx und ò 1/(x2-3) dx
sind bekannte Grundintegrale (nachschlagen !).
Wegen
1/(x2-3) = (1/6)/(x-3) - (1/6)/(x+3)
lässt sich ò sqrt(4-x2)/(x2-3) dx
auf ò sqrt(4-x2)/(x±3) dx
zurückführen. Mit x = u±3 erhält man
ò sqrt(13 ± 2u - u2)/u du.
Das lässt sich ebenfalls "elementar" integrieren.
Es ergeben sich ziemlich komplizierte Ausdrücke !
Vielleicht hat jemand eine bessere Idee ?
mfG Orion
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karl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 22:58: |
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Upps
hab mich in der Angabe verschrieben. eigentlich ist
f(x/(4-x^2+(4-x^2)^1/2) dx gefragt.
Sorry vielleicht schafft es wer auch das zu lösen
karl |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1020
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Mai, 2005 - 05:59: |
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karl,
Du hast ja genug Anregungen bekommen. Wie wäre es, wenn Du mal selbst den Griffel in die Hand nehmen würdest ?
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5094
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Mai, 2005 - 08:21: |
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Hi Karl
Als Anregung:
Substituiere x = 2 cos t , dx = - 2 sin t dt
und befolge den Rat von Orion.
Vergiss die Schiefertafel nicht (gehört zum Griffel).
Viel Erfolg
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1021
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 11. Mai, 2005 - 17:01: |
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Der Ordnung halber sei noch erwähnt, dass es in
meinem Lösungsansatz natürlich heissen muss
1/(x2-3) =
[1/(2sqrt(3)]*[1/(x-sqrt(3)) - 1/(x+sqrt(3))]
heissen sollte.
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5101
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 14. Mai, 2005 - 09:30: |
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Hi allerseits
Die Karenzfrist zur Lösung dieser instruktiven Aufgabe
ist abgelaufen.
Im Hinblick auf Interessenten soll ein möglicher
Lösungsweg vorgeführt werden.
Wie ich früher erwähnte, führt die Substitution
x = 2 cos t , dx = - 2 sin t dt zum Ziel.
Der Integrand f(t) sieht nach erfolgter Substitution
so aus:
f(t) = - 4 sin t * cos t / [4 (sin t)^2 + 2 sin t], also
steht unter dem transformierten Integral
f(t) dt = - 2 cos t / [ 2 sin t + 1 ]
Im Zähler steht, abgesehen vom Vorzeichen, die Ableitung des Nenners; das führt beim Integrieren auf den logarithmus naturalis des Nenners.
Das Resultat lautete im Ganzen:
- ln (2 sin t + 1)
Mit der Variablen x:
- ln [sqrt (4 - x^2) +1 ]
Mit freundlichen Gruessen
H.R.Moser,megamath |
