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Beitrag |
    
Karl
Unregistrierter Gast
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 11:10: | 
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Hallo, kann leider folgends Integral nicht lösen, möglicherweise gehts iregndwie mit substituieren mit tan(x).
f(1/(sinx+cosx) dx)
Würde mich über eine Lösung freuen!
danke Karl |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1308
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 11:43: |
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1/(cosx + sinx) = (cosx - sinx) / (cos^2x - sin^2x)
= cosx / (1 - 2sin^2x) - sinx / (2cos^2x - 1)
daher 2 integrale
INT cosx / (1 - 2sin^2x) dx und
INT sinx / (2cos^2x - 1) dx
subst.
t = sinx => dt = cosx dx
s = cosx => ds = -sinx dx
daher
INT 1 / (1 - 2t^2) dt und
-INT 1 / (2s^2 - 1) ds
bzw.
-1/2 INT 1 / (t^2 - 1/2) dt und
-1/2 INT 1 / (s^2 - 1/2) ds
Partialbruchzerlegung
1 / (t^2 - 1/2) = A/(t+sqrt(1/2)) + B/(t-sqrt(1/2))
1 = A*(t-sqrt(1/2)) + B*(t+sqrt(1/2))
A = -B
A = -1/(2sqrt(1/2)) = -sqrt(2)/2
B = sqrt(2)/2
daher
sqrt(2)/4 ln|t+sqrt(1/2)| - sqrt(2)/4 ln|t-sqrt(1/2)| + C und
sqrt(2)/4 ln|s+sqrt(1/2)| - sqrt(2)/4 ln|s-sqrt(1/2)| + C
daher macht das gesamt
sqrt(2)/4 ln|sin(x)+sqrt(1/2)| - sqrt(2)/4 ln|sin(x)-sqrt(1/2)| +
sqrt(2)/4 ln|cos(x)+sqrt(1/2)| - sqrt(2)/4 ln|cos(x)-sqrt(1/2)| + C
kommt da wirklich sowas grausames heraus?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5088
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 12:59: |
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Hi Walter
Versuche es mit der Substitution
tan(x/2) = u
MfG
H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied
Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1019
Registriert: 11-2001
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 14:48: |
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Hallo,
Wie wäre es mit
sin x + cos x = sqrt(2)*sin(x+p/4).
ò 1/sin u du = ln |tan(u/2)|
dürfte bekannt sein ?
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5089
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:04: |
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Hi Orion
Diese Lösung erschien vor einem Jahr in diesem Forum!
Ich gehe auf die Suche!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5090
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:15: |
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Hi allerseits
Am 11.04.04 / 14.13 Uhr
erschien in diesem Forum diese Notiz:
Zitat:
Hier mein Lösungsvorschlag für die Teilaufgabe d)
Anlässlich der Lösung von b) machte ich Gebrauch
von der goniometrischen Formel
r=sin x+ cos x= sqrt(2) cos(¼ Pi - x)
Setze das im Nenner des Integranden ein.
Substituiere (¼ Pi – x) = z , dx = - dz.
Es kommt das Integral
J = - 1/sqrt(2) int [1/cos(z) dz]
also nach a) mit der Variante V(x):
- 1/sqrt(2) ln [1/cos z + tan z]
Substituiere zurück und mache die Probe auf´s Exempel.
Es stimmt!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Zitat Ende
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1309
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:22: |
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tan(x/2) = u
1/(2cos^2(x/2)) dx = du
dx = 2 cos^2(x/2) du
sin(x/2) / cos(x/2) = u
sin^2(x/2) = u^2 * cos^2(x/2)
1-cos^2(x/2) = u^2 * cos^2(x/2)
1 = (u^2 + 1) * cos^2(x/2)
1/(u^2 + 1) = cos^2(x/2)
dx = 2/(u^2 + 1) du
sin(x) + cos(x) = sin(2x/2) + cos(2x/2) =
2sin(x/2)cos(x/2) + cos^2(x/2) - sin^2(x/2) =
2sin(x/2)cos(x/2) + 2cos^2(x/2) - 1 =
2sin(x/2)/cos(x/2)*cos^2(x/2) + 2cos^2(x/2) - 1 =
2cos^2(x/2) * (sin(x/2)/cos(x/2) + 1) - 1 =
mit u = tan(x/2) folgt
2/(u^2 + 1) * (u + 1) - 1 = (2u + 2 - u^2 - 1)/(u + 1) = (2u + 1 - u^2)/(u^2 + 1)
damit wird das dann zu
INT (u^2 + 1)/(2u + 1 - u^2) dx =
INT (u^2 + 1)/(2u + 1 - u^2) 2/(u^2 + 1) du =
INT 2/(2u + 1 - u^2) du
das geht dann mit Partialbruchzerlegung und wird zu
2u + 1 - u^2 = 0
u^2 - 2u - 1 = 0
(u-1)^2 = 2
u = 1 +/- sqrt(2)
2/(2u + 1 - u^2) = A/(u - 1 + sqrt(2)) + A/(u - 1 - sqrt(2))
2 = A*(u - 1 - sqrt(2)) + B*(u - 1 + sqrt(2))
A = -B
A*(-1 - sqrt(2)) - A*(-1 + sqrt(2)) = 2
-A*sqrt(2) - A*sqrt(2) = 2
-A*2sqrt(2) = 2
A = -1/sqrt(2)
B = 1/sqrt(2)
INT 2/(2u + 1 - u^2) du = 1/sqrt(2)*ln|u - 1 + sqrt(2)| - 1/sqrt(2)*ln|u - 1 - sqrt(2)| + C
und als Endergebnis dann
1/sqrt(2)*ln(|tan(x/2) - 1 + sqrt(2)| - 1/sqrt(2)*ln|tan(x/2) - 1 - sqrt(2)| + C =
1/sqrt(2)*|(tan(x/2) - 1 + sqrt(2))/(tan(x/2) - 1 - sqrt(2))|
fertig.
Wenn ich mir des Ergebnis anseh, dann glaub ich fast, daß des Ergebnis von Orion fast schöner aussieht;
(Beitrag nachträglich am 10., Mai. 2005 von mainziman editiert)
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5091
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:39: |
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Hi Walter
Ueber Schoenheit lässt sich streiten!
Mit der Substitution tan(x/2) = u erhalte ich ein
Ergebnis mit vertrauten Zügen:
sqrt(2)/2 * [ln (u+sqrt(2) -1) - ln(u-sqrt(2)-1)]
Mit freundlichen Grüßen
H.R. |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5092
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:57: |
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Hi allerseits
Die Aufgabe soll ein wenig verallgemeinert werden.
In anspruchsvolleren Sammlungen von Integralen
findet man das hübsche Integral
int [dx / (a + b sin x + c cos x)
mit der Klausel
a^2 < b^2 + c^2 ; a verschieden von c.
Auch dieses Integral lässt sich mit natürlichen Logarithmen darstellen,in deren Argumenten ebenfalls tan(x/2) auftritt.
Man versuche eine Lösung zu finden, die gefällt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1310
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:59: |
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Hallo Megamath,
mich schreckte einfach, daß aus 1/(sin(x)+cos(x)) eine Stammfkt. mit einer Funktionsverkettung 2er transzendenter Fkt.en entsteht;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5093
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 16:07: |
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Hi Walter
Ja, das flösst Respekt ein!
Ich bin auch beeindruckt.
Löse die Aufgabe einmal mit Miss Marple!
Ein Erlebnis der besonderen Art.
MfG
H.R |
