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Karl
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 11:10: |
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Hallo, kann leider folgends Integral nicht lösen, möglicherweise gehts iregndwie mit substituieren mit tan(x). f(1/(sinx+cosx) dx) Würde mich über eine Lösung freuen! danke Karl |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1308 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 11:43: |
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1/(cosx + sinx) = (cosx - sinx) / (cos^2x - sin^2x) = cosx / (1 - 2sin^2x) - sinx / (2cos^2x - 1) daher 2 integrale INT cosx / (1 - 2sin^2x) dx und INT sinx / (2cos^2x - 1) dx subst. t = sinx => dt = cosx dx s = cosx => ds = -sinx dx daher INT 1 / (1 - 2t^2) dt und -INT 1 / (2s^2 - 1) ds bzw. -1/2 INT 1 / (t^2 - 1/2) dt und -1/2 INT 1 / (s^2 - 1/2) ds Partialbruchzerlegung 1 / (t^2 - 1/2) = A/(t+sqrt(1/2)) + B/(t-sqrt(1/2)) 1 = A*(t-sqrt(1/2)) + B*(t+sqrt(1/2)) A = -B A = -1/(2sqrt(1/2)) = -sqrt(2)/2 B = sqrt(2)/2 daher sqrt(2)/4 ln|t+sqrt(1/2)| - sqrt(2)/4 ln|t-sqrt(1/2)| + C und sqrt(2)/4 ln|s+sqrt(1/2)| - sqrt(2)/4 ln|s-sqrt(1/2)| + C daher macht das gesamt sqrt(2)/4 ln|sin(x)+sqrt(1/2)| - sqrt(2)/4 ln|sin(x)-sqrt(1/2)| + sqrt(2)/4 ln|cos(x)+sqrt(1/2)| - sqrt(2)/4 ln|cos(x)-sqrt(1/2)| + C kommt da wirklich sowas grausames heraus?
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5088 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 12:59: |
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Hi Walter Versuche es mit der Substitution tan(x/2) = u MfG H.R.Moser,megamath |
Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 1019 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 14:48: |
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Hallo, Wie wäre es mit sin x + cos x = sqrt(2)*sin(x+p/4). ò 1/sin u du = ln |tan(u/2)| dürfte bekannt sein ? mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5089 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:04: |
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Hi Orion Diese Lösung erschien vor einem Jahr in diesem Forum! Ich gehe auf die Suche! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5090 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:15: |
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Hi allerseits Am 11.04.04 / 14.13 Uhr erschien in diesem Forum diese Notiz: Zitat: Hier mein Lösungsvorschlag für die Teilaufgabe d) Anlässlich der Lösung von b) machte ich Gebrauch von der goniometrischen Formel r=sin x+ cos x= sqrt(2) cos(¼ Pi - x) Setze das im Nenner des Integranden ein. Substituiere (¼ Pi – x) = z , dx = - dz. Es kommt das Integral J = - 1/sqrt(2) int [1/cos(z) dz] also nach a) mit der Variante V(x): - 1/sqrt(2) ln [1/cos z + tan z] Substituiere zurück und mache die Probe auf´s Exempel. Es stimmt! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath Zitat Ende MfG H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1309 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:22: |
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tan(x/2) = u 1/(2cos^2(x/2)) dx = du dx = 2 cos^2(x/2) du sin(x/2) / cos(x/2) = u sin^2(x/2) = u^2 * cos^2(x/2) 1-cos^2(x/2) = u^2 * cos^2(x/2) 1 = (u^2 + 1) * cos^2(x/2) 1/(u^2 + 1) = cos^2(x/2) dx = 2/(u^2 + 1) du sin(x) + cos(x) = sin(2x/2) + cos(2x/2) = 2sin(x/2)cos(x/2) + cos^2(x/2) - sin^2(x/2) = 2sin(x/2)cos(x/2) + 2cos^2(x/2) - 1 = 2sin(x/2)/cos(x/2)*cos^2(x/2) + 2cos^2(x/2) - 1 = 2cos^2(x/2) * (sin(x/2)/cos(x/2) + 1) - 1 = mit u = tan(x/2) folgt 2/(u^2 + 1) * (u + 1) - 1 = (2u + 2 - u^2 - 1)/(u + 1) = (2u + 1 - u^2)/(u^2 + 1) damit wird das dann zu INT (u^2 + 1)/(2u + 1 - u^2) dx = INT (u^2 + 1)/(2u + 1 - u^2) 2/(u^2 + 1) du = INT 2/(2u + 1 - u^2) du das geht dann mit Partialbruchzerlegung und wird zu 2u + 1 - u^2 = 0 u^2 - 2u - 1 = 0 (u-1)^2 = 2 u = 1 +/- sqrt(2) 2/(2u + 1 - u^2) = A/(u - 1 + sqrt(2)) + A/(u - 1 - sqrt(2)) 2 = A*(u - 1 - sqrt(2)) + B*(u - 1 + sqrt(2)) A = -B A*(-1 - sqrt(2)) - A*(-1 + sqrt(2)) = 2 -A*sqrt(2) - A*sqrt(2) = 2 -A*2sqrt(2) = 2 A = -1/sqrt(2) B = 1/sqrt(2) INT 2/(2u + 1 - u^2) du = 1/sqrt(2)*ln|u - 1 + sqrt(2)| - 1/sqrt(2)*ln|u - 1 - sqrt(2)| + C und als Endergebnis dann 1/sqrt(2)*ln(|tan(x/2) - 1 + sqrt(2)| - 1/sqrt(2)*ln|tan(x/2) - 1 - sqrt(2)| + C = 1/sqrt(2)*|(tan(x/2) - 1 + sqrt(2))/(tan(x/2) - 1 - sqrt(2))| fertig. Wenn ich mir des Ergebnis anseh, dann glaub ich fast, daß des Ergebnis von Orion fast schöner aussieht; (Beitrag nachträglich am 10., Mai. 2005 von mainziman editiert) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5091 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:39: |
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Hi Walter Ueber Schoenheit lässt sich streiten! Mit der Substitution tan(x/2) = u erhalte ich ein Ergebnis mit vertrauten Zügen: sqrt(2)/2 * [ln (u+sqrt(2) -1) - ln(u-sqrt(2)-1)] Mit freundlichen Grüßen H.R. |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5092 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:57: |
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Hi allerseits Die Aufgabe soll ein wenig verallgemeinert werden. In anspruchsvolleren Sammlungen von Integralen findet man das hübsche Integral int [dx / (a + b sin x + c cos x) mit der Klausel a^2 < b^2 + c^2 ; a verschieden von c. Auch dieses Integral lässt sich mit natürlichen Logarithmen darstellen,in deren Argumenten ebenfalls tan(x/2) auftritt. Man versuche eine Lösung zu finden, die gefällt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1310 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 15:59: |
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Hallo Megamath, mich schreckte einfach, daß aus 1/(sin(x)+cos(x)) eine Stammfkt. mit einer Funktionsverkettung 2er transzendenter Fkt.en entsteht; Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5093 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 10. Mai, 2005 - 16:07: |
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Hi Walter Ja, das flösst Respekt ein! Ich bin auch beeindruckt. Löse die Aufgabe einmal mit Miss Marple! Ein Erlebnis der besonderen Art. MfG H.R |