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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5045
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 29. April, 2005 - 14:38: | 
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Hi allerseits
In der Aufgabe FE 12 wird ein Zusammenhang zwischen der Oberfläche M(n+2) der (n+2)- dimensionalen Hyperkugel
mit dem Volumen V(n) der n– dimensionalen Hyperkugel
untersucht. Beide Kugeln haben den Radius r.
Die Aufgabe lautet.
Man beweise, dass der Quotient
M(n+2, r) / V(n, r) nicht von der Dimensioszahl n abhängt.
Es gilt nach wie vor:
Für das Volumen V(n,r) einer Kugel der Dimension n und vom Radius r gilt:
Volumen V(n,r) = C(n)*r^n
mit C(n) = Pi^(1/2 n) / Gamma(1/2 n + 1)
Für die Oberfläche M(n,r) einer Kugel der Dimension n und vom Radius r gilt:
Oberfläche M(n,r)=n C(n)*r^(n-1)
mit C(n) = Pi^(1/2 n)/Gamma(1/2 n+1)
Hinweis
Der Quotient beträgt 2 Pi r.
Man bestätige das Ergebnis am numerischen Beispiel n = 13.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 5054
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 01. Mai, 2005 - 17:40: |
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Hi allerseits
Ausstehend ist noch die Lösung der Aufgabe FE 12.
Dies wird allsogleich nachgeholt!
Wir bilden K = M(n+2, r) / V(n, r) und erhalten durch blosses Einsetzen :
K = [(n+2)*C(n+2) * r^(n+1)}/ [C(n) * r^n)] =
(n+2) C(n+2) / C(n) * r
Der Quotient der C-Werte ergibt gemäss der Rekursionsformel
den Wert 2 Pi / (n+2).
Damit ergibt sich der angekündigte Wert K =2 Pi r, qed.
Das numerische Beispiel n = 15
C(13) = 0,0005344 Pi^6,5
C(15) = 0,00007125 Pi ^7,5
M(15) = 0,0010688 Pi^7,5 r^14 = 5,72165 r^14
V(13) = 0,0005344 Pi^6,5 r^13 = 0,910629 r^13
K = M(15)/V(13) = 2 Pi r
Es stimmt!
PS
Das Volumen der Einheits-Hyperkugel strebt gegen null für n gegen unendlich.
Bei n = 13 sinkt das Volumen der Einheits-Hyperkugel zum
ersten Mal unter das Volumen des Einheits-Hyperwürfels
derselben Dimension.
MfG
H.R.Moser,megamath |
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