Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Bidualraum

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Lineare Un-/Abhängigkeit » Bidualraum « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1748
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 16:27:   Beitrag drucken

Hi,

hier noch eine Aufgabe aus meinem "Gruselkabniett", die ich noch
nicht lösen konnte:

K Körper, V endl.dim. K-Vektorraum.
Sei V'' := Hom(V',K) der Dualraum zum Dualraum V' gegeben.

Ich habe bewiesen, dass die lineare Abbildung:
i: V -> V'' , v -> i(v)
[dabei i(v): V' -> K, f -> i(v)(f):=f(v)
ein "kanonischer" Isomorphismus ist.

Sei also B = { vi | i=1..n} eine Basis von V, da V endl.dim.,
sagen wir dim(V)=n gilt auch dim(V'')=n.

Zeige: Ist B eine Basis von V, so ist i(B) eine Basis von V''.

Wegen dim (V'')=n, denke ich reicht es zu zeigen,
das die Menge der Abbildungen: { i(vi) | i=1..n)
linear unabhängig sind.

Z.z. Sn i=1li*i(vi)=0 => li=0 " i € {1,...n}

Nur wie kann ich das jetzt zeigen? Ich dachte daran,
auf beiden Seiten der Gleichung ein f "einzusetzen":

Sn i=1li*i(vi)(f)=0(f)

0(f)=0 , da 0 die Nullabbildung ist,
die Null rechts ist die 0 aus K,
aber irgendwie stecke ich jetzt hier fest!

Ratschläge? Dank im Voraus!

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2 (Niels2)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1306
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 20:46:   Beitrag drucken

HI Ferdi,

argumentiere über die Duale Basis....

reicht dir der Tipp???

Gruß N.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2 (Niels2)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1307
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 20:50:   Beitrag drucken

im Grunde ist die Aussage Trivial,

weil wenn du weist das es ein Isomorphismus ist,

das werden Basen auf Basen abgebildet....

ich weis nicht was du da noch zeigen willst?
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1749
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 00:07:   Beitrag drucken

Hi,

angenommen, ich würde den Satz eine bijektive lineare Funktion bildet Basen auf Basen ab nicht kennen...

Wie könnt eich den Beweis erbringen, das alle li=0 sein müssen?

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2 (Niels2)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1308
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 09:07:   Beitrag drucken

Hi Ferdi,

im Prinzip geht das so wie immer- wie hast du den bewiesen, das B* eine Duale Basis zu B ist???

Im Grunde machst du ja das gleiche hier nur zweimal, weil ja B** so zusagen die duale Basis zu B* ist....
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Christian_s (Christian_s)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1775
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 09:14:   Beitrag drucken

Hallo Ferdi

Du brauchst hier gar nicht zu beachten wie deine Abbildung i aussieht. Es reicht, dass i ein Isomorphismus ist um deine Aussage von oben zu beweisen. Das liegt natürlich an dem Satz, den Niels schon genannt hat.
Hier mal ein Beweis deiner Aussage:
Sn k=1lk*i(vk) = 0
i linear =>
i(Sn k=1lk*vk) = 0
i isomorphismus =>
Sn k=1lk*vk=0
B Basis =>
lk = 0 für k=1,...,n.

MfG
Christian
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2 (Niels2)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1309
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 10:16:   Beitrag drucken

Hi Christan,

exakt! Im Grunde ist das alles ein bisschen rumspielen von Linaren Abbildungen und die Benutzung des Isomorphismus.
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1750
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 10:54:   Beitrag drucken

Hi,

ich hatte einen Denkfehler, ich hatte immer nur an die Linearität gedacht so:

i(v)(f+lg)=i(v)(f)+li(v)(g)

Ich dachte immer es gilt nicht:
li(v) = i(l*v)

Dann gehts natürlich wirklich schnell! Danke euch beiden!

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Niels2
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 11:00:   Beitrag drucken

tja, den habe ich manchmal auch, schön das das jetzt geklärt ist.

Gruß N.

Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page