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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1748 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 16:27: |
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Hi, hier noch eine Aufgabe aus meinem "Gruselkabniett", die ich noch nicht lösen konnte: K Körper, V endl.dim. K-Vektorraum. Sei V'' := Hom(V',K) der Dualraum zum Dualraum V' gegeben. Ich habe bewiesen, dass die lineare Abbildung: i: V -> V'' , v -> i(v) [dabei i(v): V' -> K, f -> i(v)(f):=f(v) ein "kanonischer" Isomorphismus ist. Sei also B = { vi | i=1..n} eine Basis von V, da V endl.dim., sagen wir dim(V)=n gilt auch dim(V'')=n. Zeige: Ist B eine Basis von V, so ist i(B) eine Basis von V''. Wegen dim (V'')=n, denke ich reicht es zu zeigen, das die Menge der Abbildungen: { i(vi) | i=1..n) linear unabhängig sind. Z.z. Sn i=1li*i(vi)=0 => li=0 " i € {1,...n} Nur wie kann ich das jetzt zeigen? Ich dachte daran, auf beiden Seiten der Gleichung ein f "einzusetzen": Sn i=1li*i(vi)(f)=0(f) 0(f)=0 , da 0 die Nullabbildung ist, die Null rechts ist die 0 aus K, aber irgendwie stecke ich jetzt hier fest! Ratschläge? Dank im Voraus! mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1306 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 20:46: |
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HI Ferdi, argumentiere über die Duale Basis.... reicht dir der Tipp??? Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1307 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. März, 2005 - 20:50: |
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im Grunde ist die Aussage Trivial, weil wenn du weist das es ein Isomorphismus ist, das werden Basen auf Basen abgebildet.... ich weis nicht was du da noch zeigen willst? |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1749 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 00:07: |
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Hi, angenommen, ich würde den Satz eine bijektive lineare Funktion bildet Basen auf Basen ab nicht kennen... Wie könnt eich den Beweis erbringen, das alle li=0 sein müssen? mfg |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1308 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 09:07: |
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Hi Ferdi, im Prinzip geht das so wie immer- wie hast du den bewiesen, das B* eine Duale Basis zu B ist??? Im Grunde machst du ja das gleiche hier nur zweimal, weil ja B** so zusagen die duale Basis zu B* ist.... |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1775 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 09:14: |
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Hallo Ferdi Du brauchst hier gar nicht zu beachten wie deine Abbildung i aussieht. Es reicht, dass i ein Isomorphismus ist um deine Aussage von oben zu beweisen. Das liegt natürlich an dem Satz, den Niels schon genannt hat. Hier mal ein Beweis deiner Aussage: Sn k=1lk*i(vk) = 0 i linear => i(Sn k=1lk*vk) = 0 i isomorphismus => Sn k=1lk*vk=0 B Basis => lk = 0 für k=1,...,n. MfG Christian |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1309 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 10:16: |
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Hi Christan, exakt! Im Grunde ist das alles ein bisschen rumspielen von Linaren Abbildungen und die Benutzung des Isomorphismus. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1750 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 10:54: |
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Hi, ich hatte einen Denkfehler, ich hatte immer nur an die Linearität gedacht so: i(v)(f+lg)=i(v)(f)+li(v)(g) Ich dachte immer es gilt nicht: li(v) = i(l*v) Dann gehts natürlich wirklich schnell! Danke euch beiden! mfg |
Niels2
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Samstag, den 19. März, 2005 - 11:00: |
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tja, den habe ich manchmal auch, schön das das jetzt geklärt ist. Gruß N. |