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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4865
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 12:17: | 
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Hi Walter,
Zum Thema Drehungen im R3 könnten die
folgenden Ausführungen, die ich vor 4 ½
Jahren in dieses Forum stellte, nützlich sein.
Auffrischung in solchen Dingen kann nichts schaden!
Anschließend können wir damit vielleicht auch
das Problem der Winkelhalbierungsebenen mit einem
neuen Verfahren lösen.
Um Drehungen im Raum um eine Achse g
rechnerisch ausführen zu können,
verwenden wir ein wirksames Verfahren,
das von Arthur Cayley (1821 - 1895) stammt.
Die Cayleyschen Formeln gestatten es,
die (3,3)-Matrix A
einer Drehung aus einem Vektor in der Drehachse g
und dem Drehwinkel omega zu ermitteln.
Wir geben die Elemente aik von A einzeln an ;
anschließend zeigen wir das Verfahren an
einem numerischen Beispiel.
Vorausgesetzt wird, dass die Drehachse durch den
Nullpunkt O des orthonormierten Koordinatensystems geht
und der Drehwinkel omega von 180° verschieden ist.
Einen Richtungsvektor von a normieren wir so,
dass sein Betrag mit dem Tangens des halben Drehwinkels
übereinstimmt (!).
Die Koordinaten dieses so normierten Vektors seien mit
a1, a2, a3 bezeichnet.
Es gilt also
wurzel (a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2) = [ tan ( omega / 2 ) ]
In jedem Element der Drehmatrix A steht als Nenner der Term
N = 1 + a1 ^ 2 + a2 ^ 2 + a3 ^ 2
Die neun Elemente von A sind:
a11 = (1 + a1^ 2 - a2 ^ 2 - a3 ^ 2 ) / N
a12 = 2 * ( a1 * a2 - a3 ) / N
a13 = 2 * ( a1 * a3 + a2 ) / N
a21 = 2 * ( a1 * a2 + a3) / N
a22 = ( 1 - a1 ^ 2 + a2 ^ 2 - a3 ^ 2 ) / N
a23 = 2 * ( a2 * a3 - a1 ) / N
a31 = 2 * ( a1 * a3 - a2 ) / N
a32 = 2 * ( a2 * a3 + a1 ) / N
a33 = ( 1 - a1 ^ 2 - a2 ^ 2 + a3 ^ 2 ) / N
Ein Beispiel
Achse durch O
Rotation um die Achse mit Richtungsvektor {1,1;1} ,
Drehwinkel omega = 120°
Der Vektor hat den Betrag wurzel(3); dieser Wert
stimmt mit tan [omega / 2] = tan (60°) überein.
Der Vektor mit a1 = a2 = a3 = 1 ist somit schon richtig
normiert.
Man erhält nach leichter Rechnung gemäß der angegebenen
Formeln die Drehmatrix A ( Nenner N = 4 ):
Erste Zeile 0 0 1
Zweite Zeile 1 0 0
Dritte Zeile 0 1 0
Die Abbildungsgleichungen dieser Rotation lauten für
P(x/y/z) als Originalpunkt und P'(x'/y'/z') als Bildpunkt:
x' = z
y' = x
z' = y
Anmerkung
Mit Hilfe des folgenden Satzes können wir leicht
unser Resultat überprüfen
Der Satz lautet :
Jede orthogonale Matrix A = [aik] mit det(A) = +1
stellt eine Drehung dar.
Den Drehwinkel omega erhält man mit der Formel
cos (omega) = ( s - 1 ) / 2 ,
wobei s die Spur der Matrix darstellt:
s = a11 + a22 + a33.
Die Rotationsachse hat die Richtung der Eigenvektoren,
welche zum Eigenwert lambda = 1 der Matrix gehören.
Bekanntlich heißt eine Matrix orthogonal, wenn das
skalare Produkt je zweier Zeilenvektoren null
und die Beträge aller Zeilenvektoren eins sind
Eine Matrix, welche nach Zeilen orthogonal ist ,
ist eo ipso nach Kolonnen orthogonal.
Unabhängig vom Wert s hat eine solche Drehmatrix A
stets den Eigenwert 1,
wie man sich leicht überzeugen kann.
In einer Fortsetzung gehe ich auf unser Problem mit der
Winkelhalbierungsebene ein
Mit freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1184
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 11. März, 2005 - 18:22: |
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Hallo Megamath
sieht mächtig kompliziert aus;
sehe ich es richtig, daß hier auch sowas wie die Korkenzieherregel was die Drehrichtung in Relation zum Vektor (der Drehachse) angeht, gilt?
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4878
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 16:30: |
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Hi Walter.
Deine Bemerkung bezüglich der Korkzieherregel
trifft zu, Prosit.
Im Richtungsvektor a, den wir nach der angegebenen
Vorschrift ermitteln, steckt alles Nötige drin.
Die Methode von Cayley ist nicht so kompliziert,
wie es auf den ersten Blick aussieht.
Sie wird in der Praxis als wichtiges Hilfsmittel öfter benützt.
Ein CAS kann da recht hilfreich sein.
Liegt die Abbildungsmatrix fertig vor, stehen Dir einige
Kontrollmöglichkeiten zur Verfügung.
Möchtest Du noch ein Anwendungsbeispiel sehen?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4879
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 16:51: |
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Hi Walter
Eine Reminiszenz:
Gegeben wird die Drehung durch den Richtungsvektor a der
Drehachse g, welche durch den Nullpunkt O geht und den
Drehwinkel phi.
(die Pfeile bei den Vektoren seien hier weggelassen)
Es ist zweckmässig, phi mit a folgendermassen
zu verschmelzen:
a wird so normiert, dass der Betrag von a mit tan (½ phi)
übereinstimmt; phi = 180° ist dabei auszuschliessen.
Ist P ein Originalpunk und P´ der zugehörige Bildpunkt
bei dieser Drehung, so sollen die Vektoren OP, OP´ und a
in dieser Reihenfolge eine Rechtsschraube bilden.
MfG
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1202
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 14. März, 2005 - 18:28: |
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Hallo Megamath
klar, mit einem CAS ist man bestens ausgerüstet; 
Soweit komm ich mit der Drehmatrix zu Rande;
Wie man diese Drehformel herleitet ist mir ein Rätsel? 
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4882
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. März, 2005 - 16:15: |
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Hi Walter
Wenn bei mir privat und geschäftlich einmal etwas ruhigere Zeiten eintreten sollten, werde ich Dir ein kleines Privatissimum bezüglich Cayley geben, indem ich Dir in mehreren Schritten einen Beweis dieser famosen Formel vorführe.
Ich bitte um etwas Geduld.
Damit wir erleben, wie die Formel in praxi funktioniert,
komme ich auf die ursprüngliche Aufgabe zurück, welche diesen
Exkurs zu der Drehformel überhaupt auslöste.
Gegeben sind die Ebenen W und E1,welche beide durch den Nullpunkt gehen.
Ebene W : x + 4 y - z = 0
Ebene E1: 4 x + y + 2 z = 0
Die Schnittgerade g beider Ebenen ist somit eine Ursprungsgerade mit der Parameterdarstellung
x = - 3 t ; y = 2 t ; z = 5 t
wie man leicht nachrechnet.
Man drehe die Ebene E1 mit g als Drehachse
um den Winkel omega = 2 * phi, wobei phi der Winkel zwischen den Ebenen E1 und W ist.
Das Ergebnis sie die Ebene E2
Aufgabe:
Man ermittle mit Cayley eine Gleichung von E2.
Starthilfen:
tan(phi) = sqrt (19/2)
Vektor a = {-3/2; 1 ; 5/2}
Elemente in der Hauptdiagonalen der Drehmatrix A:
a11 = - 8/21; a22 = - 13/21; a33 = 8/21
Erste Tranformationsgleichung
(mit der 1.Spalte von A):
x = - 8/21 X + 4/21 Y - 19/21 Z
und so weiter und so fort.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4883
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 06:34: |
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Hi allerseits
Weitere Zwischenresultate sind:
Abbildungsmatrix (Drehmatrix) A nach Cayley:
A:=
matrix([[-8/21,-16/21,-11/21],[4/21,-13/21,16/21],[-19/21,4/21,8/21]]);
Spur s von A:
s = -8/21-13/21 +8/21 = -13/21
Daraus
cos(omega) = ½(s-1) = - 17/21
Mit der Halbwinkelformel für die Cosinusfunktion
kommt:
cos phi = cos (½ oh mega) =
wurzel {½ [1+cos(omega)]} = sqrt(2/21),
wie es sein muss.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4884
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 09:27: |
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Hi allerseits
Zum Abschluss dieser Drehungsaufgabe im R3
sollen noch die drei Abbildungsgleichungen,
die man der Abbildungsmatrix A Spalte um Spalte
entnehmen kann, notiert werden.
Die Koordinaten des Bildpunktes P* von P(x/y/z)
sollen mit X,Y,Z bezeichnet werden.
Dann gilt:
x = - 8/21 X + 4/21 Y - 19/21 Z
y = - 16/21 X – 13/21 Y + 4/21 Z
z = - 11/21 X + 16/21 Y + 8/21 Z
Setzt man diese Werte für x,y,z in die Gleichung der Ebene
E1: 4 x + y + 2 z = 0 ein,
so erhält man stante pede die Gleichung der gesuchten Ebene
E2 : - 10 X + 5 Y – 8 Z = 0
Damit ist das Problem der Winkelhalbierungsebenen von allen Seiten beleuchtet
und von mir aus abgeschlossen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1204
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 09:55: |
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Hallo Megamath
Perfekt
auffallend dabei: man bekommt gleich die "richtige" Orientierung des Normalvektors der Ebene E2;
gespannt bin ich auf die Herleitung der Drehformeln von Cayley;
Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4886
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. März, 2005 - 17:22: |
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Hi Walter
Danke für die Würdigung meiner Ausführungen!
Ich versuche, heute noch mit der Herleitung zu beginnen,
indem ich Hilfsformeln aus der GONIOMETRIE bereitstelle
und den Weg skizziere.
Die Herleitung stelle ich in einen besonderen Sektor
unter den Titel
„Herleitung der Drehformeln von Cayley“.
In den Vorlesungen wird in der Regel eine ganze
Stunde nur für die Herleitung benötigt.
Dies bedeutet, dass mein Beitrag in mindestens drei Teile zerfallen wird.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath |
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