Mythos2002 (Mythos2002)
Senior Mitglied Benutzername: Mythos2002
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| Veröffentlicht am Montag, den 17. Januar, 2005 - 11:34: |
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Hi! Wir führen das System zunächst in die Determinanten- bzw. Matrixschreibweise über: | 3 2 4 | |2 -2 3 | * X = (4;2;-1)_T |-1 3 -2| bzw. D * X = b D heisst Koeffizientenmatrix (bzw. Koeffizientendeterminante), b_T .. bedeutet, dass der Vektor b transponiert, also als Spaltenvektor zu lesen ist, der Begriff "Vektor" ist hier als einzeilige Zeilen- oder Spaltenmatrix zu verstehen. Der Lösungsvektor ist (x1;x2;x3), dessen Komponenten zu bestimmen sind. Lösbar ist das LGS dann, wenn entweder eine eindeutige Lösung oder aber auch unendlich viele Lösungen existieren. Nach der Cramer'schen Regel lautet die Lösung: x1 = D1/D, x2 = D2/D, x3 = D3/D Für eine eindeutige Lösung muss, wie man zunächst erkennt, D <> 0 sein. Es sind allgemein jedoch zwei Fälle zu unterscheiden: 1. D <> 0 »» eindeutige Lösung 2. D = 0 UND alle anderen D1, D2, D3 sind ebenfalls alle 0 »» unendliche Vielfalt von Lösungen Wir schreiben nun die Determinante D an: | 3 2 4 | |2 -2 3 | = D |-1 3 -2| und D1, D2, D3, das sind jene Determinanten, die entstehen, wenn man in D jeweils die erste, zweite und dritte Spalte durch die Komponenten (4;2;-1) des Vektors b ersetzt: | 4 2 4 | |2 -2 3 | = D1 |-1 3 -2| | 3 4 4 | | 2 2 3 | = D2 |-1 -1 -2| | 3 2 4 | |2 -2 2 | = D3 |-1 3 -1| Wir ermitteln nun den Wert aller Determinanten: D = 3; D1 = -2; D2 = 1; D3 = 4 Somit ist x1 = -2/3; x2 = 1/3; x3 = 4/3 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° bzw. L = {(-2/3 ; 1/3 ; 4/3)} Eine geometrische Deutung: Die durch das LGS bestimmten drei Ebenen schneiden sich in dem Punkt (-2/3; 1/3; 4/3). Gr mYthos |