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Cramerschen Regel

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Sadi (Sadi)
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Mitglied
Benutzername: Sadi

Nummer des Beitrags: 38
Registriert: 11-2003
Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Januar, 2005 - 15:38:   Beitrag drucken

Kann mir jemand bei dieser Aufgabe helfen ?
Bestimmen Sie die Lösung des folgenden LGS mittels der Cramerschen Regel:
3x1 +2x2 +4x3 = 4
2x1 -2x2 +3x3 = 2
-x1 +3x2 -2x3 =-1
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Mythos2002 (Mythos2002)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mythos2002

Nummer des Beitrags: 1292
Registriert: 03-2002
Veröffentlicht am Montag, den 17. Januar, 2005 - 11:34:   Beitrag drucken

Hi!

Wir führen das System zunächst in die Determinanten- bzw. Matrixschreibweise über:

| 3 2 4 |
|2 -2 3 | * X = (4;2;-1)_T
|-1 3 -2|

bzw.

D * X = b

D heisst Koeffizientenmatrix (bzw. Koeffizientendeterminante), b_T .. bedeutet, dass der Vektor b transponiert, also als Spaltenvektor zu lesen ist, der Begriff "Vektor" ist hier als einzeilige Zeilen- oder Spaltenmatrix zu verstehen.

Der Lösungsvektor ist (x1;x2;x3), dessen Komponenten zu bestimmen sind.

Lösbar ist das LGS dann, wenn entweder eine eindeutige Lösung oder aber auch unendlich viele Lösungen existieren.

Nach der Cramer'schen Regel lautet die Lösung:

x1 = D1/D, x2 = D2/D, x3 = D3/D

Für eine eindeutige Lösung muss, wie man zunächst erkennt, D <> 0 sein.

Es sind allgemein jedoch zwei Fälle zu unterscheiden:

1. D <> 0
»» eindeutige Lösung
2. D = 0 UND alle anderen D1, D2, D3 sind ebenfalls alle 0
»» unendliche Vielfalt von Lösungen

Wir schreiben nun die Determinante D an:

| 3 2 4 |
|2 -2 3 | = D
|-1 3 -2|

und

D1, D2, D3,

das sind jene Determinanten, die entstehen, wenn man in D jeweils die erste, zweite und dritte Spalte durch die Komponenten (4;2;-1) des Vektors b ersetzt:

| 4 2 4 |
|2 -2 3 | = D1
|-1 3 -2|

| 3 4 4 |
| 2 2 3 | = D2
|-1 -1 -2|

| 3 2 4 |
|2 -2 2 | = D3
|-1 3 -1|

Wir ermitteln nun den Wert aller Determinanten:

D = 3; D1 = -2; D2 = 1; D3 = 4

Somit ist

x1 = -2/3; x2 = 1/3; x3 = 4/3
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
bzw.
L = {(-2/3 ; 1/3 ; 4/3)}

Eine geometrische Deutung: Die durch das LGS bestimmten drei Ebenen schneiden sich in dem Punkt (-2/3; 1/3; 4/3).

Gr
mYthos

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