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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1708 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 17:54: |
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Hallo Unser Professor hat uns kurz vor Weihnachten die folgende Aufgabe gestellt. Es geht um ein Spiel zwischen dem Weihnachtsmann und dem Christkind. Und zwar hat man ein Polynom der Form R(x)=x10+a9x9+...+a1x+1 gegeben. Der Weihnachtsmann und das Christkind ersetzen nun abwechselnd einen der Koeffizienten a1,...,a9 durch eine reelle Zahl. Das Christkind gewinnt, wenn das entstandene Polynom eine reelle Nullstelle hat, sonst gewinnt der Weihnachtsmann. Welche Strategie muss das Christkind wählen um sicher zu gewinnen? Bin mal auf eure Lösungen gespannt MfG Christian |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1082 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 19:04: |
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Derjenige der a9 ersetzt, ersetzt auch a1; und falls dies der Weihnachtsmann ist, hat das Christkind eine Chance, in dem es seine Koeffizienten (a8, a6, a4, a2) auf Werte kleiner oder gleich 0 setzt; a10 ist mit 1 vorgegeben a9 setzt der Weihnachtsmann a8 setzt es auf -|a9|-1 a7 setzt der Weihnachtsmann a6 setzt es auf -|a7| a5 setzt der Weihnachtsmann a4 setzt es auf -|a5| a3 setzt der Weihnachtsmann a2 setzt es auf -|a3| a1 setzt der Weihnachtsmann a0 ist ebenfalls mit 1 vorgegeben kann der Weihnachtsmann überhaupts durch das Setzen des Koeffizienten vom linearen Glied noch gegensteuern? Ersetzt hingegen das Christkind die ungeraden Koeffizienten (a9, a7, a5, a3, a1), dann hat es den Trumpf in der Hand: a10 ist mit 1 vorgegeben a9 setzt es auf -1 a8 setzt der Weihnachtsmann a7 setzt es auf -a8 a6 setzt der Weihnachtsmann a5 setzt es auf -a6 a4 setzt der Weihnachtsmann a3 setzt es auf -a4 a2 setzt der Weihnachtsmann a1 setzt es auf -a2-1 a0 ist ebenfalls mit 1 vorgegeben damit ist +1 eine reelle Lösung der Gleichung; Gruß, Walter (Beitrag nachträglich am 15., Januar. 2005 von mainziman editiert) Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1709 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 19:32: |
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Hi Walter Es ist so gedacht, dass beliebige Koeffizienten gewählt werden. Also man darf sich bei jedem Zug irgendeinen Koeffizienten aussuchen. MfG Christian |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1083 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 20:02: |
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Hm, die Frage ist halt, ob derjenige der den vorletzten Koeffizienten wählt das Spiel bereits für sich entscheiden kann? Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1710 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 20:49: |
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die Frage ist halt, ob derjenige der den vorletzten Koeffizienten wählt das Spiel bereits für sich entscheiden kann? Ja, genau. Das Christkind muss geschickt genug spielen, dass der Weihnachtsmann im letzten Zug nicht mehr verhindern kann, dass das Polynom eine Nullstelle hat. Hier mal meine Lösung: http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~cschmid8/weihnachtsblatt.pdf (Das Polynom hieß bei uns auf dem Zettel Lebkuchenpolynom). Es gibt da aber doch sicher irgendeinen besseren Weg?! MfG Christian |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1084 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 15. Januar, 2005 - 21:25: |
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Oder anders, im Falle daß das Christkind den letzten Koeffizienten setzt, muß der Weihnachtsmann geschickt genug spielen, damit das Christkind beim letzten Zug keine reelle Nullstelle mehr hinbekommt. Geht das überhaupt? [falls es geht, wäre es irgendwie ein Widerspruch zum Fall 1 im PDF] Eines ist auch klar, wenn das Christkind einen geraden Koeffizienten setzt, dann setzt es dort einen sehr sehr kleinen Koeffizienten (negativ) hingegegn setzt der Weihnachtsmann einen geraden Koeffizienten, setzt dieser einen sehr großen Koeffizienten (positiv) x10 + 10 x9 + a8 x8 + 120 x7 + 220 x6 + 252 x5 + 220 x4 + 120 x3 + 45 x2 + a1 x + 1 = 0 Kann man a8 so setzen, daß es egal ist wie a1 gesetzt wird? lt. Mathematica nein von daher denke ich mal, daß derjenige Sieger ist, der den letzten Koeffizienten setzt. Die Aufgabe ist echt gut Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1711 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Januar, 2005 - 00:03: |
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Oder anders, im Falle daß das Christkind den letzten Koeffizienten setzt, muß der Weihnachtsmann geschickt genug spielen, damit das Christkind beim letzten Zug keine reelle Nullstelle mehr hinbekommt. Der Weihnachtsmann soll ja gar nicht gewinnen. Es soll nur eine Strategie gefunden werden, mit der das Christkind immer gewinnt. Anders herum funktioniert es natürlich nicht. Kann man a8 so setzen, daß es egal ist wie a1 gesetzt wird? lt. Mathematica nein Wie hast du das von Mathematica berechnen lassen? Man weiss doch gar nicht wann die Koeffizienten a1 und a8 gesetzt werden und welche Werte die anderen Koeffizienten haben. MfG Christian |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1086 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 16. Januar, 2005 - 00:25: |
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hm, der Weihnachtsmann soll nicht gewinnen, äh, dann könnte er ja dazu beitragen, daß das Christkind immer gewinnt, oder nicht? das mit der Berechnung von Mathematica, ich bin einfach mal fiktiv hergegegangen und habe eine Gleichung bis auf 2 unbekannte Koeffizienten "zusammengeschustert"; und dann hab ich ma gedacht, ob ich nicht doch durch setzen des einen Koeffizienten den anderen Spielteilnehmer ausbrems, scheiterte dabei aber; Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1720 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 27. Januar, 2005 - 10:37: |
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Hallo Walter Habe hier nochmal eine Musterlösung zu der Aufgabe: http://www.rzuser.uni-heidelberg.de/~cdeil/analysis1/blatt9xmas.pdf Von der Strategie her ist es das gleiche wie in meinem Beweis. Aber der letzte Fall ist etwas schöner bewiesen. MfG Christian |
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