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Potenzsumme

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Mainziman (Mainziman)
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Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1043
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 2004 - 22:14:   Beitrag drucken

die Summe der ersten n Quadratzahlen bestimmt man mit

s = n * (n+1) * (2n+1) / 6

für n = 1 (die Triviallsg.) und für n = 24 ist die summe selbst wieder quadratisch;

Für welche n ist die Summe noch quadratisch?
Falls es keine weiteren gibt, wie zeigt man es?

ich habs mal die Suche so versucht:

n = 6k mit k aus IN

s = 6k * (6k+1) * (12k+1) / 6 = k * (6k+1) * (12k+1)

jeder Faktor muß selbst eine Quadratzahl sein;

k = 22 = 4 liefert mir die eine Lsg. mit n = 24

für k aus { 202, 282, 1982, 3902 } sind nur 2 der 3 Faktoren Quadratzahlen

gibts weitere?


andere Variante:

n = 6k+5 mit k aus IN

s = (6k+5) * (6k+6) * (12k+11) / 6 = (6k+5) * (k+1) * (12k+11)

jeder Faktor muß selbst eine Quadratzahl sein,
daher

für keine quadratzahl q ist
q == 11 (mod 12) oder q == 5 (mod 6)
wahr (?)



weitere Varianten:

n = 3k+1 mit k aus IN

s = (3k+1) * (3k+2) * (6k+3) / 6 = (3k+1) * (3k+2) * (2k+1) / 2

a) k gerade: k = 2m

s = (6m+1) * (6m+2) * (4m+1) / 2 = (6m+1) * (3m+1) * (4m+1)

b) k ungerade: k = 2m+1

s = (6m+4) * (6m+5) * (4m+3) / 2 = (3m+2) * (6m+5) * (4m+3)

auch hier bei a) und b): jeder Faktor muß selbst eine Quadratzahl sein;

bei a) ist m aus { 8, 20, 56, 280, 9520 } sind 2 der 3 Faktoren quadratisch und bei einigen Werten ist nur einer der Faktoren quadratisch

bei b) find ich überhaupt kein m unter den ersten paar 1000 nat. Zahlen für die zumindest 2 Faktoren quadratisch sind

Wer weiß weiter?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
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Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher

Nummer des Beitrags: 2557
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 08:43:   Beitrag drucken

für n=6k mach ich's so:

k*(6k+1)*(12k+1) = N²
k*(72k²+18k+1) = N²
72k³+2*(3k)²+k = N²
72k³+1*(3k)²+k = N²-(3k)²
k*(..) = (N + 3k)*(N - 3k)
verlangt N = k*l
also
72k²+9k+1 = (l+3)(k*l-3k) = k*(l+3)*(l-3)
linke Seite nicht durch k teilbar
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1044
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 09:10:   Beitrag drucken

Hallo Fritz,

das ist ja das verhexte

N braucht nicht durch k teilbar sein, N^2 muß es aber;

k = 4, N = 70 und die Gleichung stimmt,
aber l = N/k = 70/4 = 35/2 ist nicht ganzzahlig
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*

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