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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1043
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 15. Dezember, 2004 - 22:14: | 
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die Summe der ersten n Quadratzahlen bestimmt man mit
s = n * (n+1) * (2n+1) / 6
für n = 1 (die Triviallsg.) und für n = 24 ist die summe selbst wieder quadratisch;
Für welche n ist die Summe noch quadratisch?
Falls es keine weiteren gibt, wie zeigt man es?
ich habs mal die Suche so versucht:
n = 6k mit k aus IN
s = 6k * (6k+1) * (12k+1) / 6 = k * (6k+1) * (12k+1)
jeder Faktor muß selbst eine Quadratzahl sein;
k = 22 = 4 liefert mir die eine Lsg. mit n = 24
für k aus { 202, 282, 1982, 3902 } sind nur 2 der 3 Faktoren Quadratzahlen 
gibts weitere?
andere Variante:
n = 6k+5 mit k aus IN
s = (6k+5) * (6k+6) * (12k+11) / 6 = (6k+5) * (k+1) * (12k+11)
jeder Faktor muß selbst eine Quadratzahl sein,
daher
für keine quadratzahl q ist
q == 11 (mod 12) oder q == 5 (mod 6)
wahr (?)
weitere Varianten:
n = 3k+1 mit k aus IN
s = (3k+1) * (3k+2) * (6k+3) / 6 = (3k+1) * (3k+2) * (2k+1) / 2
a) k gerade: k = 2m
s = (6m+1) * (6m+2) * (4m+1) / 2 = (6m+1) * (3m+1) * (4m+1)
b) k ungerade: k = 2m+1
s = (6m+4) * (6m+5) * (4m+3) / 2 = (3m+2) * (6m+5) * (4m+3)
auch hier bei a) und b): jeder Faktor muß selbst eine Quadratzahl sein;
bei a) ist m aus { 8, 20, 56, 280, 9520 } sind 2 der 3 Faktoren quadratisch und bei einigen Werten ist nur einer der Faktoren quadratisch
bei b) find ich überhaupt kein m unter den ersten paar 1000 nat. Zahlen für die zumindest 2 Faktoren quadratisch sind
Wer weiß weiter?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Friedrichlaher (Friedrichlaher)
Senior Mitglied
Benutzername: Friedrichlaher
Nummer des Beitrags: 2557
Registriert: 02-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 08:43: |
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für n=6k mach ich's so:
k*(6k+1)*(12k+1) = N²
k*(72k²+18k+1) = N²
72k³+2*(3k)²+k = N²
72k³+1*(3k)²+k = N²-(3k)²
k*(..) = (N + 3k)*(N - 3k)
verlangt N = k*l
also
72k²+9k+1 = (l+3)(k*l-3k) = k*(l+3)*(l-3)
linke Seite nicht durch k teilbar
Wenn das Erlernen der Mathematik einigermaßen ihre Erfindung wiederspiegeln soll, so muß es einen Platz für Erraten, für plausibles Schließen haben.
[Aus dem Vorwort zu "Mathematik und plausibles Schliessen, Bd. 1 Induktion und Analogie in der Mathematik" von Georg Pólya]
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Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied
Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1044
Registriert: 05-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 16. Dezember, 2004 - 09:10: |
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Hallo Fritz,
das ist ja das verhexte
N braucht nicht durch k teilbar sein, N^2 muß es aber;
k = 4, N = 70 und die Gleichung stimmt,
aber l = N/k = 70/4 = 35/2 ist nicht ganzzahlig
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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