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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1704 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 11. Dezember, 2004 - 13:13: |
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Hi, hier eine Denksportaufgabe, an der ich schon länger knobele: Man verlege zwei Schienen zwischen A und B, nur wesentlich krummer, so dass eine Kugel vom Radius r auf der unteren Schiene von A nach B rollen kann und eine Kugel vom gleichen Radius währenddessen von B nach A rollt ohne das sich die Kugeln unterwegs berühren. Nun lege man zwei sehr kleine Kugeln in A auf die beiden Schienen, verbinde sie aber mit einem Faden der Länge 2r. Kann man die Kugeln jetzt nach B rollen ohne das der Faden reißt? Als Info wurde gegeben, das die Kugel auf der unteren Schiene immer mit konstanter Geschwindigkeit rolle. Zwischenwertsatz könnte hilfreich sein. Habt ihr eine Idee? |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1764 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 13:16: |
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Hallo TI, ich verstehe die Aufgabe gar nicht. Was meinst du z.B. mit "nur wesentlich krummer"? |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1706 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 16:27: |
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Hi Zaph, ich hab mal die Aufgabe abgescannt, ich hoffe dann wird es deutlicher! mfg |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 1032 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 22:24: |
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hm, die konstante Geschwindigkeit meinst sicher die Tangentialgeschwindigkeit? schematisch würde ich das folgendermaßen in ein Koordinatensystem legen: A(-h|0), B(h|0) die beiden Schienen würde ich mit folgenden beiden Funktionen beschreiben: f(x) = sqrt( r1^2 - x^2 ) - sqrt(r1^2 - h^2 ) g(x) = -sqrt( r2^2 - x^2 ) + sqrt(r2^2 - h^2 ) mit r1 > r2 >> h ich nehm mal an, es ist das maximale r in Abhängigkeit von r1, r2 und h gesucht? Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1768 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 12:54: |
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Alles klar, die Aufgabe habe ich jetzt verstanden. Gegeben sind also zwei Kurven x(t) und y(t) im IR² mit x(0) = y(0) = A und x(1) = y(1) = B. Eine Kurve sei dabei eine stetige Abbildung von [0,1] nach IR². Interpretation: Zum Zeitpunkt t befindet sich die eine Kugel im Punkt x(t) und die andere im Punkt y(1 - t). Weiterhin gelte |x(t) - y(1 - t)| > 2r für 0 <= t <=1. (Da sich die Kugeln nicht berühren sollen.) Behauptung: Wenn f und g stetige Funktionen von [0,1] nach [0,1] mit f(0) = g(0) = 0 und f(1) = g(1) = 1, dann existiert ein s aus [0,1] mit |x(f(s)) - y(g(s))| > 2r. (D. h. wie auch immer die Kugeln von A nach B rollen, das Band reißt!) Laut Info darf angenommen werden, dass g(t) = t für 0 <= t <= 1. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1708 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 13:38: |
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Hi Zaph, danke! So konnte man den Zwischenwertsatz also ins Spiel bringen! mfg |
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