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Denksport Aufgabe mit Kugeln

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1704
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 11. Dezember, 2004 - 13:13:   Beitrag drucken

Hi,

hier eine Denksportaufgabe, an der ich schon länger knobele:

Man verlege zwei Schienen zwischen A und B, nur wesentlich krummer, so dass eine Kugel vom Radius r auf der unteren Schiene von A nach B rollen kann und eine Kugel vom gleichen Radius währenddessen von B nach A rollt ohne das sich die Kugeln unterwegs berühren.

Nun lege man zwei sehr kleine Kugeln in A auf die beiden Schienen, verbinde sie aber mit einem Faden der Länge 2r. Kann man die Kugeln jetzt nach B rollen ohne das der Faden reißt?

Als Info wurde gegeben, das die Kugel auf der unteren Schiene immer mit konstanter Geschwindigkeit rolle. Zwischenwertsatz könnte hilfreich sein.

Habt ihr eine Idee?
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1764
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 13:16:   Beitrag drucken

Hallo TI, ich verstehe die Aufgabe gar nicht. Was meinst du z.B. mit "nur wesentlich krummer"?
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1706
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 16:27:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

ich hab mal die Aufgabe abgescannt, ich hoffe dann wird es deutlicher!

schiene.jpg

mfg
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 1032
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 12. Dezember, 2004 - 22:24:   Beitrag drucken

hm,

die konstante Geschwindigkeit meinst sicher die Tangentialgeschwindigkeit?

schematisch würde ich das folgendermaßen in ein Koordinatensystem legen:

A(-h|0), B(h|0)

die beiden Schienen würde ich mit folgenden beiden Funktionen beschreiben:

f(x) = sqrt( r1^2 - x^2 ) - sqrt(r1^2 - h^2 )
g(x) = -sqrt( r2^2 - x^2 ) + sqrt(r2^2 - h^2 )

mit r1 > r2 >> h

ich nehm mal an, es ist das maximale r in Abhängigkeit von r1, r2 und h gesucht?
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Zaph (Zaph)
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Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1768
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 12:54:   Beitrag drucken

Alles klar, die Aufgabe habe ich jetzt verstanden.

Gegeben sind also zwei Kurven x(t) und y(t) im IR² mit x(0) = y(0) = A und x(1) = y(1) = B.

Eine Kurve sei dabei eine stetige Abbildung von [0,1] nach IR².

Interpretation: Zum Zeitpunkt t befindet sich die eine Kugel im Punkt x(t) und die andere im Punkt y(1 - t).

Weiterhin gelte |x(t) - y(1 - t)| > 2r für 0 <= t <=1. (Da sich die Kugeln nicht berühren sollen.)

Behauptung: Wenn f und g stetige Funktionen von [0,1] nach [0,1] mit f(0) = g(0) = 0 und f(1) = g(1) = 1, dann existiert ein s aus [0,1] mit
|x(f(s)) - y(g(s))| > 2r.
(D. h. wie auch immer die Kugeln von A nach B rollen, das Band reißt!)


Laut Info darf angenommen werden, dass g(t) = t für 0 <= t <= 1.
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1708
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 13. Dezember, 2004 - 13:38:   Beitrag drucken

Hi Zaph,

danke! So konnte man den Zwischenwertsatz also ins Spiel bringen!

mfg

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