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Homogenität von Funktionen

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Tantor (Tantor)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tantor

Nummer des Beitrags: 53
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 07:28:   Beitrag drucken

Hallo zusammen,

also die Aufgabenstellung sei mal folgende :

a) Welche der folgenden Funktionen sind homogen ( linear, unterlinear, überlinear, Grad )?
b) Wie verändert sich der Output x bei Halbierung beider Inputs r1,r2 (nur homogene Funktionen ) ?

x= f(r1,r2)=r1^03+r2^0,5
x= f(r1,r2)=r1^2+r2^2

Mir würde nur schon reichen wenn mir jemand sagt wie ich anzusetzen habe und was ich untersuchen muß damit ich sagen kann linear,unterlinear,etc.
Will nicht unbedingt die Lösung haben, sondern lediglich was ich machen muß, DANKE ;-)

Gruß
Tantor
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4600
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 09:11:   Beitrag drucken

Hi Tantor.

Du solltest die Definition der Homogenität
kennen
und diese auf die Beispiele übertragen.

Die Definition lautet:

Eine stetige Funktion f in n Variablen
x1, x2,…, xn
ist homogen vom Grad alpha >=0,
wenn für beliebige Argumente aus ihrem
Definitionsbereich und beliebigen reellen
Zahlen v > = 0 gilt:
f(v*x1, v*x2,…, v*xn) = v^(alpha) * f(x1, x2,…, xn)

Ist alpha = 1,
so ist die Funktion linear homogen.

Für alpha < 1
liegt eine unterlinear-homogene Funktion vor,

bei alpha > 1
handelt es sich um eine überlinear-homogene
Funktion.

Genügen diese Angaben?

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4601
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 16:57:   Beitrag drucken

Hi Tantor

Der Einfachheit halber schreiben wir die
Homogenitätsrelation
für drei unabhängige Variablen x,y,z an:
f(x,y,z) heißt ex definitione homogen vom Grad k,
wenn für alle t die Homogenitätsrelation
f(tx,ty,tz) = t^k*f(x,y,z)
erfüllt ist.

Differenziert man die Homogenitätsbedingung
nach der Variablen t und setzt nachträglich t = 1,
so erhält man die Eulersche Relation

x* f_x + y* f_y + z* f_z = k*f……………………………………..(LE)

(nach Leonhard Euler geb. 1707 in Basel ,
gest.1783 in St.Petersburg).

f_y , f_y, f_z sind die
partielllen Ableitungen von f nach x,y,z.

Ein Beispiel.
Sei f(x,y,z) = x^2 + y^2 + y z
Es ist dann
f(tx,ty,tz) = t^2 f(x,y,z) mit k = 2.

Kontrolle von LE:
x * 2x + y*(2y+z) + z*(y)
= 2 x^2 + 2 y^2 + 2 y z; richtig!

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tantor (Tantor)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Tantor

Nummer des Beitrags: 56
Registriert: 04-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. November, 2004 - 11:00:   Beitrag drucken

OK, das hat gereicht,
aber was kann ich denn zu dem b) Teil schreiben,
was muß ich denn da machen ?

Gruß
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4605
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. November, 2004 - 20:58:   Beitrag drucken

Hi Tantor

Bei Deinem zweiten Beispiel x= f(r1,r2)=r1^2+r2^2
liegt eine homogene Funktion vom Grad 2 vor;
sie ist also überlinear homogen.

Nachweis:
ersetze r1 durch t * r1 und r2 durch t* r2; es kommt neu
x* = f (t *r1, t * r2) = t^2 *[( r1^2 + r2 ^2) = t^2 * x

Damit kannst Du auch b) beantworten.
Hier gilt t = ½, somit entsteht
x* = ¼ * x


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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