Autor |
Beitrag |
Tantor (Tantor)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Tantor
Nummer des Beitrags: 53 Registriert: 04-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 07:28: |
|
Hallo zusammen, also die Aufgabenstellung sei mal folgende : a) Welche der folgenden Funktionen sind homogen ( linear, unterlinear, überlinear, Grad )? b) Wie verändert sich der Output x bei Halbierung beider Inputs r1,r2 (nur homogene Funktionen ) ? x= f(r1,r2)=r1^03+r2^0,5 x= f(r1,r2)=r1^2+r2^2 Mir würde nur schon reichen wenn mir jemand sagt wie ich anzusetzen habe und was ich untersuchen muß damit ich sagen kann linear,unterlinear,etc. Will nicht unbedingt die Lösung haben, sondern lediglich was ich machen muß, DANKE ;-) Gruß Tantor |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4600 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 09:11: |
|
Hi Tantor. Du solltest die Definition der Homogenität kennen und diese auf die Beispiele übertragen. Die Definition lautet: Eine stetige Funktion f in n Variablen x1, x2,…, xn ist homogen vom Grad alpha >=0, wenn für beliebige Argumente aus ihrem Definitionsbereich und beliebigen reellen Zahlen v > = 0 gilt: f(v*x1, v*x2,…, v*xn) = v^(alpha) * f(x1, x2,…, xn) Ist alpha = 1, so ist die Funktion linear homogen. Für alpha < 1 liegt eine unterlinear-homogene Funktion vor, bei alpha > 1 handelt es sich um eine überlinear-homogene Funktion. Genügen diese Angaben? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4601 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 09. November, 2004 - 16:57: |
|
Hi Tantor Der Einfachheit halber schreiben wir die Homogenitätsrelation für drei unabhängige Variablen x,y,z an: f(x,y,z) heißt ex definitione homogen vom Grad k, wenn für alle t die Homogenitätsrelation f(tx,ty,tz) = t^k*f(x,y,z) erfüllt ist. Differenziert man die Homogenitätsbedingung nach der Variablen t und setzt nachträglich t = 1, so erhält man die Eulersche Relation x* f_x + y* f_y + z* f_z = k*f……………………………………..(LE) (nach Leonhard Euler geb. 1707 in Basel , gest.1783 in St.Petersburg). f_y , f_y, f_z sind die partielllen Ableitungen von f nach x,y,z. Ein Beispiel. Sei f(x,y,z) = x^2 + y^2 + y z Es ist dann f(tx,ty,tz) = t^2 f(x,y,z) mit k = 2. Kontrolle von LE: x * 2x + y*(2y+z) + z*(y) = 2 x^2 + 2 y^2 + 2 y z; richtig! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
Tantor (Tantor)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Tantor
Nummer des Beitrags: 56 Registriert: 04-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. November, 2004 - 11:00: |
|
OK, das hat gereicht, aber was kann ich denn zu dem b) Teil schreiben, was muß ich denn da machen ? Gruß |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4605 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 10. November, 2004 - 20:58: |
|
Hi Tantor Bei Deinem zweiten Beispiel x= f(r1,r2)=r1^2+r2^2 liegt eine homogene Funktion vom Grad 2 vor; sie ist also überlinear homogen. Nachweis: ersetze r1 durch t * r1 und r2 durch t* r2; es kommt neu x* = f (t *r1, t * r2) = t^2 *[( r1^2 + r2 ^2) = t^2 * x Damit kannst Du auch b) beantworten. Hier gilt t = ½, somit entsteht x* = ¼ * x Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath |
|