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Beweis: Injektivtät einer Verknüpfung...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Lineare Algebra » Abbildungen » Beweis: Injektivtät einer Verknüpfung « Zurück Vor »

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Simone
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 18:55:   Beitrag drucken

Hallo Leute,
ich sitze schon länger an folgendem Beweis:

(Es seien M1, M2, M3 Mengen und f: M1 -> M2 und g: M2 -> M3 Abbildungen.)
Beweise: Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch die Hintereinanderausführung g°f injektiv.

Von der Logik her ist es eigentlich klar, aber ich weiß nicht, wie ich es zu Papier bringen soll.
Über einen Tipp würde ich mich freuen.

Vielen Dank für eure Hilfe,
Simone
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Merci (Merci)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Merci

Nummer des Beitrags: 106
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 19:43:   Beitrag drucken

Ein Tipp der dich hoffentlich weiter bringt...

g(f(x)) ist dasselbe wie g * f
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Simone
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 20:25:   Beitrag drucken

Danke für den Tipp, aber das war eigentlich klar. Hab den Beweis jetzt auch hinbekommen. Sitze aber nun vor einem neuen Problem:
Zeige: Wenn g o f surjektiv und g injektiv, so ist auch f surjektiv.
Was kann ich da tun?

Wär lieb, wenn mir dabei nochmal jemand helfen könnte...

Simone
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1724
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 20:40:   Beitrag drucken

Hallo Simone, solche Aufgaben gibt es hier häufig. Siehe z. B. hier:
http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/74315/22101.html
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Simone
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 21:19:   Beitrag drucken

Hallo Zaph!
Ich habe folgenden Beitrag von dir gelesen:

Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 12:40:

--------------------------------------------------------------------------------
Ist nicht schwer. Man fange einfach den Beweis an und kucke dann, wie es weiter geht.

Zeige: f surjektiv.

Sei y aus B. Finde x aus A mit f(x) = y.

Es muss jetzt irgendwie die Voraussetzung, dass g°f surjektiv ist, angewandt werden.

Sei z = g(y). Es ist z aus C. Da g°f surjektiv, existiert x aus A mit g°f(x) = z.

Dieses x sollte das Gewünschte leisten! Sei f(x) = u und zeige u = y.

Glücklicherweise haben wir noch eine Voraussetzung übrig!

Es ist g(u) = g(f(x)) = g°f(x) = z.

Also g(u) = g(y). Da g injektiv, folgt u = y.

Nicht wahr?!

-----
}

Habe auch versucht ihn zu verstehen. Gelingt mir aber nicht. :-(

Könntest du das vieleicht nochmal ausführlicher erläutern? Bitte.... wär echt toll.

Simone
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1728
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 21:44:   Beitrag drucken

Hallo Simone, gerne ... was verstehst du denn nicht?

Du musst natürlich A, B und C durch M1, M2 und M3 ersetzten.

Z.
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Sotux (Sotux)
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Erfahrenes Mitglied
Benutzername: Sotux

Nummer des Beitrags: 460
Registriert: 04-2003
Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 22:08:   Beitrag drucken

Hi,

vielleicht findest du einen Widerspruchsbeweis eingängiger:
Wenn f nicht surjektiv wäre, würde mindestens ein x aus M2 nicht im Bild von f liegen und folglich (wegen der Injektivität von g) auch nicht g(x) im Bild von g(f(M1)), im Widerspruch zur Voraussetzung.
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Simone
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 18:37:   Beitrag drucken

hi !
danke für eure Bemühungen! Gestern abend hab ich schon geschlafen. Hab den Widerspruchsbeweis nach einiger Überlegung jetzt verstanden und wiefolgt formuliert:
Annahme: f(M1)!= M2 (bzw. f nicht surjektiv).

Dann existiert in M2 mindestens ein Element mehr als in M1. Wegen der Injektivität von g, existiert folglich auch in M3 mindestens ein Element mehr als in M1. Dies steht im Widerspruch zur Surjektivität von g°f, da (g°f)(M1)!= M3. qed

Kann ich das so schreiben?
Danke für eure Hilfe.

Simone
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1729
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 19:40:   Beitrag drucken

Hallo Simone, so kannst du das leider nicht schreiben!

M1 kann mehr Elemente als M2 enthalten, selbst dann, wenn f nicht surjektiv ist. Bei unendlichen Mengen gerät deine Argumentation vollends ins Schwimmen. Der Beweis, den du oben aus meinem alten Posting kopiert hast, ist eigentlich Standard. Sag einfach, welche Zeile(n) du nicht verstehst.

Z.
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Simone
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 19:45:   Beitrag drucken

ok..bloß gut, dass ich es so noch nicht ordentlich aufgeschrieben hab.ich versteh die ganze logik von deiner beweisführung gar nicht.
wär echt nett, wenn du mir das nochmal ausführlich erklären könntest. es geht schon am anfang los..wieso soll man ein x aus A finden mit f(x)=y?
S.
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1731
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 19:54:   Beitrag drucken

Du willst doch zeigen, dass f surjektiv ist. Das heißt doch, dass es zu jedem y aus B ein x aus A gibt mit f(x) = y. Zu einem beliebigen y musst du also ein x finden, welches f(x) = y erfüllt. Wenn du das geschafft hast, bist du fertig mit dem Beweis.
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Zaph (Zaph)
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Senior Mitglied
Benutzername: Zaph

Nummer des Beitrags: 1732
Registriert: 07-2000
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 20:05:   Beitrag drucken

Hier noch mal etwas anders aufgeschrieben...

Zeige: f surjektiv.

Sei y aus B beliebig. (Zu zeigen: es gibt ein x aus A mit f(x) = y - dann ist der Beweis komplett!)

Definiere z := g(y). Dann ist z aus C. Da g°f surjektiv und z aus C ist, existiert ein x aus A mit
g°f(x) = z.

(Zeige: f(x) = y - dann ist der Beweis komplett!)

Definiere u := f(x)

(Zeige: y = u - dann ist der Beweis komplett!)

Es ist
g(u) = g(f(x)) = g°f(x) = z = g(y).

Also g(u) = g(y).

Da g injektiv ist, folgt u = y. q.e.d.
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Simone
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Unregistrierter Gast
Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 20:45:   Beitrag drucken

Super, jetzt hab ich´s.
Vielen Dank.

Simone

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