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Simone
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 18:55: |
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Hallo Leute, ich sitze schon länger an folgendem Beweis: (Es seien M1, M2, M3 Mengen und f: M1 -> M2 und g: M2 -> M3 Abbildungen.) Beweise: Wenn f und g injektiv sind, dann ist auch die Hintereinanderausführung g°f injektiv. Von der Logik her ist es eigentlich klar, aber ich weiß nicht, wie ich es zu Papier bringen soll. Über einen Tipp würde ich mich freuen. Vielen Dank für eure Hilfe, Simone |
Merci (Merci)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Merci
Nummer des Beitrags: 106 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 19:43: |
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Ein Tipp der dich hoffentlich weiter bringt... g(f(x)) ist dasselbe wie g * f |
Simone
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 20:25: |
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Danke für den Tipp, aber das war eigentlich klar. Hab den Beweis jetzt auch hinbekommen. Sitze aber nun vor einem neuen Problem: Zeige: Wenn g o f surjektiv und g injektiv, so ist auch f surjektiv. Was kann ich da tun? Wär lieb, wenn mir dabei nochmal jemand helfen könnte... Simone |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1724 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 20:40: |
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Hallo Simone, solche Aufgaben gibt es hier häufig. Siehe z. B. hier: http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/74315/22101.html |
Simone
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 21:19: |
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Hallo Zaph! Ich habe folgenden Beitrag von dir gelesen: Veröffentlicht am Sonntag, den 11. November, 2001 - 12:40: -------------------------------------------------------------------------------- Ist nicht schwer. Man fange einfach den Beweis an und kucke dann, wie es weiter geht. Zeige: f surjektiv. Sei y aus B. Finde x aus A mit f(x) = y. Es muss jetzt irgendwie die Voraussetzung, dass g°f surjektiv ist, angewandt werden. Sei z = g(y). Es ist z aus C. Da g°f surjektiv, existiert x aus A mit g°f(x) = z. Dieses x sollte das Gewünschte leisten! Sei f(x) = u und zeige u = y. Glücklicherweise haben wir noch eine Voraussetzung übrig! Es ist g(u) = g(f(x)) = g°f(x) = z. Also g(u) = g(y). Da g injektiv, folgt u = y. Nicht wahr?! -----} Habe auch versucht ihn zu verstehen. Gelingt mir aber nicht. Könntest du das vieleicht nochmal ausführlicher erläutern? Bitte.... wär echt toll. Simone |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1728 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 21:44: |
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Hallo Simone, gerne ... was verstehst du denn nicht? Du musst natürlich A, B und C durch M1, M2 und M3 ersetzten. Z. |
Sotux (Sotux)
Erfahrenes Mitglied Benutzername: Sotux
Nummer des Beitrags: 460 Registriert: 04-2003
| Veröffentlicht am Montag, den 01. November, 2004 - 22:08: |
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Hi, vielleicht findest du einen Widerspruchsbeweis eingängiger: Wenn f nicht surjektiv wäre, würde mindestens ein x aus M2 nicht im Bild von f liegen und folglich (wegen der Injektivität von g) auch nicht g(x) im Bild von g(f(M1)), im Widerspruch zur Voraussetzung. |
Simone
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 18:37: |
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hi ! danke für eure Bemühungen! Gestern abend hab ich schon geschlafen. Hab den Widerspruchsbeweis nach einiger Überlegung jetzt verstanden und wiefolgt formuliert: Annahme: f(M1)!= M2 (bzw. f nicht surjektiv). Dann existiert in M2 mindestens ein Element mehr als in M1. Wegen der Injektivität von g, existiert folglich auch in M3 mindestens ein Element mehr als in M1. Dies steht im Widerspruch zur Surjektivität von g°f, da (g°f)(M1)!= M3. qed Kann ich das so schreiben? Danke für eure Hilfe. Simone |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1729 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 19:40: |
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Hallo Simone, so kannst du das leider nicht schreiben! M1 kann mehr Elemente als M2 enthalten, selbst dann, wenn f nicht surjektiv ist. Bei unendlichen Mengen gerät deine Argumentation vollends ins Schwimmen. Der Beweis, den du oben aus meinem alten Posting kopiert hast, ist eigentlich Standard. Sag einfach, welche Zeile(n) du nicht verstehst. Z. |
Simone
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 19:45: |
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ok..bloß gut, dass ich es so noch nicht ordentlich aufgeschrieben hab.ich versteh die ganze logik von deiner beweisführung gar nicht. wär echt nett, wenn du mir das nochmal ausführlich erklären könntest. es geht schon am anfang los..wieso soll man ein x aus A finden mit f(x)=y? S. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1731 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 19:54: |
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Du willst doch zeigen, dass f surjektiv ist. Das heißt doch, dass es zu jedem y aus B ein x aus A gibt mit f(x) = y. Zu einem beliebigen y musst du also ein x finden, welches f(x) = y erfüllt. Wenn du das geschafft hast, bist du fertig mit dem Beweis. |
Zaph (Zaph)
Senior Mitglied Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1732 Registriert: 07-2000
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 20:05: |
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Hier noch mal etwas anders aufgeschrieben... Zeige: f surjektiv. Sei y aus B beliebig. (Zu zeigen: es gibt ein x aus A mit f(x) = y - dann ist der Beweis komplett!) Definiere z := g(y). Dann ist z aus C. Da g°f surjektiv und z aus C ist, existiert ein x aus A mit g°f(x) = z. (Zeige: f(x) = y - dann ist der Beweis komplett!) Definiere u := f(x) (Zeige: y = u - dann ist der Beweis komplett!) Es ist g(u) = g(f(x)) = g°f(x) = z = g(y). Also g(u) = g(y). Da g injektiv ist, folgt u = y. q.e.d. |
Simone
Unregistrierter Gast
| Veröffentlicht am Dienstag, den 02. November, 2004 - 20:45: |
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Super, jetzt hab ich´s. Vielen Dank. Simone |