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Lockere Folge 500 : Das Doppelpunktve...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4531
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 07:30:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Zum kleinen Jubiläum rund um die Nummer 500
der LF-Aufgabenserie kommt eine Anwendung
des Steinerschen Doppelpunktverfahrens zum Zug.

Dieses Verfahren ermöglicht es, zu einer gegebenen
Projektivität von Punkten auf einer Geraden die
Doppelpunkte zu konstruieren.
Die Projektivität sei gegeben durch das Tripel
entsprechender Punktepaare:
A, Bildpunkt A´; B, Bildpunkt B´; C, Bildpunkt C´.
Oberhalb g sei ein beliebiger Kreis k situiert;
von einem beliebigen Punkt G auf k aus als Projektionszentrum werden die Punkte
A,B,C,A´,B´,C´ zentral auf den Kreis projiziert:
Ergebnis dieser Projektion in entsprechender
Reihenfolge:
A1,B1,C1;A2.B2,C2
d.h.
die Gerade GA schneidet k in A1,
die Gerade GA´ schneidet k in A2
usw.

Diese Punkte bestimmen eine Projektivität der
Kreispunkte in sich.
Mit dem so genannten Kreuzlinienverfahren wird
nun die Perspektivachse p bestimmt.

Das geht so:
Sei P1 der Schnittpunkt der Geraden A1B2 und A2B1,
P2 der Schnittpunkt der Geraden A1C2 und A2C1,


P3 der Schnittpunkt der Geraden B1C2 und B2C1 .

Die Punkte P1, P2, P3 liegen zu dritt auf der Geraden p.

Hat p mit k zwei Punkte U1,V1 gemeinsam,
so sind diese Doppelpunkte der Projektivität der
Kreispunkte, d.h. es gilt:
U1 = U2, V1 = V2.
Die Doppelstrahlen G U1 und G V1 liefern als
Schnittpunkte mit g die gesuchten Doppelpunkte
U und V auf g.
Dies ist die Steinersche Doppelpunkt-Konstruktion

Zu Jakob Steiner (1796-1863) siehe in Google unter

http://www.mathematik.ch/mathematiker/steiner.php


Nun zur Aufgabe LF 500
Man konstruiere die Doppelelemente der folgenden
Projektivität auf der x-Achse:
A mit x = -4, A´ mit x´ = 14
B mit x = -2 , B´ mit x´ = - 6
C mit x = 1, C´ mit x´ = 1,5

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4532
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 09:45:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Zur Kontrolle eines möglichen konstruktiven
Resultates dienen die folgenden rechnerischen
Ergebnisse:

Die Abbildungsgleichung lautet:
x * x´ - 4 x + 3 x´ - 2 = 0
Daraus entspringen die Doppelpunkte
U mit x = -1
V mit x = 2

Mit freundlichen Grüßen
H.R,Moser,megamath


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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1659
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 14:17:   Beitrag drucken

Hi megamath,

hier mal meine Skizze, es kommt ungefähr [fast sogar genau] hin!

Als Kreis habe ich denjenigen um M(2/2) mit r=1 gewählt! Als Projektionszentrum G habe ich (2/1) auf dem Kreis gewählt!

steiner.jpg

mfg

(Beitrag nachträglich am 18., Oktober. 2004 von tl198 editiert)
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4534
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 14:37:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Das ist sehr schön gemacht!
Vielleicht lassen sich noch ein paar Détails
einfügen, z.B. die Punkte A1,B1,C1;A2.B2,C2.

Mit bestem Dank und freundlichen Grüssen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1660
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 15:10:   Beitrag drucken

Hi megamath,

leider kann ich das Bild nicht mehr bearbeiten, daher hier meine RUNDUNGSwerte der Punkte[ich kann nicht besonders gut runden...], wer möchte kann sie sich dann selber einzeichnen, oder man zeichnet sich die Geraden GA, GA' etc ein!

A1 ( 2,3 / 1,05 ) ; A2 ( 1,8 / 1,02 )
B1 ( 2,5 / 1,13 ) ; B2 ( 2,24 / 1,03 )
C1 ( 3 / 2 ) ; C2 ( 2,8 / 2,6 )

P1 ( 2,6 / 1,14 )
P2 ( 2,48 / 1,6 )
P3 ( 2,53 / 1,4 )

mfg


(Beitrag nachträglich am 18., Oktober. 2004 von tl198 editiert)
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4537
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 2004 - 10:33:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Vielen Dank für die Daten!
Sie ermögichen es,die eigene Skizze zu überprüfen:
alles ok.

MfG
H.R.Moser,megamath

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