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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4531 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 07:30: |
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Hi allerseits Zum kleinen Jubiläum rund um die Nummer 500 der LF-Aufgabenserie kommt eine Anwendung des Steinerschen Doppelpunktverfahrens zum Zug. Dieses Verfahren ermöglicht es, zu einer gegebenen Projektivität von Punkten auf einer Geraden die Doppelpunkte zu konstruieren. Die Projektivität sei gegeben durch das Tripel entsprechender Punktepaare: A, Bildpunkt A´; B, Bildpunkt B´; C, Bildpunkt C´. Oberhalb g sei ein beliebiger Kreis k situiert; von einem beliebigen Punkt G auf k aus als Projektionszentrum werden die Punkte A,B,C,A´,B´,C´ zentral auf den Kreis projiziert: Ergebnis dieser Projektion in entsprechender Reihenfolge: A1,B1,C1;A2.B2,C2 d.h. die Gerade GA schneidet k in A1, die Gerade GA´ schneidet k in A2 usw. Diese Punkte bestimmen eine Projektivität der Kreispunkte in sich. Mit dem so genannten Kreuzlinienverfahren wird nun die Perspektivachse p bestimmt. Das geht so: Sei P1 der Schnittpunkt der Geraden A1B2 und A2B1, P2 der Schnittpunkt der Geraden A1C2 und A2C1, P3 der Schnittpunkt der Geraden B1C2 und B2C1 . Die Punkte P1, P2, P3 liegen zu dritt auf der Geraden p. Hat p mit k zwei Punkte U1,V1 gemeinsam, so sind diese Doppelpunkte der Projektivität der Kreispunkte, d.h. es gilt: U1 = U2, V1 = V2. Die Doppelstrahlen G U1 und G V1 liefern als Schnittpunkte mit g die gesuchten Doppelpunkte U und V auf g. Dies ist die Steinersche Doppelpunkt-Konstruktion Zu Jakob Steiner (1796-1863) siehe in Google unter http://www.mathematik.ch/mathematiker/steiner.php Nun zur Aufgabe LF 500 Man konstruiere die Doppelelemente der folgenden Projektivität auf der x-Achse: A mit x = -4, A´ mit x´ = 14 B mit x = -2 , B´ mit x´ = - 6 C mit x = 1, C´ mit x´ = 1,5 Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4532 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 09:45: |
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Hi allerseits Zur Kontrolle eines möglichen konstruktiven Resultates dienen die folgenden rechnerischen Ergebnisse: Die Abbildungsgleichung lautet: x * x´ - 4 x + 3 x´ - 2 = 0 Daraus entspringen die Doppelpunkte U mit x = -1 V mit x = 2 Mit freundlichen Grüßen H.R,Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1659 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 14:17: |
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Hi megamath, hier mal meine Skizze, es kommt ungefähr [fast sogar genau] hin! Als Kreis habe ich denjenigen um M(2/2) mit r=1 gewählt! Als Projektionszentrum G habe ich (2/1) auf dem Kreis gewählt! mfg (Beitrag nachträglich am 18., Oktober. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4534 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 14:37: |
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Hi Ferdi Das ist sehr schön gemacht! Vielleicht lassen sich noch ein paar Détails einfügen, z.B. die Punkte A1,B1,C1;A2.B2,C2. Mit bestem Dank und freundlichen Grüssen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1660 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 15:10: |
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Hi megamath, leider kann ich das Bild nicht mehr bearbeiten, daher hier meine RUNDUNGSwerte der Punkte[ich kann nicht besonders gut runden...], wer möchte kann sie sich dann selber einzeichnen, oder man zeichnet sich die Geraden GA, GA' etc ein! A1 ( 2,3 / 1,05 ) ; A2 ( 1,8 / 1,02 ) B1 ( 2,5 / 1,13 ) ; B2 ( 2,24 / 1,03 ) C1 ( 3 / 2 ) ; C2 ( 2,8 / 2,6 ) P1 ( 2,6 / 1,14 ) P2 ( 2,48 / 1,6 ) P3 ( 2,53 / 1,4 ) mfg (Beitrag nachträglich am 18., Oktober. 2004 von tl198 editiert) |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4537 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 19. Oktober, 2004 - 10:33: |
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Hi Ferdi Vielen Dank für die Daten! Sie ermögichen es,die eigene Skizze zu überprüfen: alles ok. MfG H.R.Moser,megamath |
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