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Wieviele Gruppen der Ordnung 1,2,3,4 ...

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Knusperkaiser (Knusperkaiser)
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Neues Mitglied
Benutzername: Knusperkaiser

Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 10-2004
Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 2004 - 09:58:   Beitrag drucken

Wieviele Gruppen der Ordnung 1,2,3,4 gibt es bis auf Isomorphie??
Und welche davon sind eigentlich abelsch??
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1599
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 2004 - 19:32:   Beitrag drucken

Hallo

Ich würde hier einfach versuchen die Gruppen zu konstruieren. Z.B. mit Gruppentafeln. Ich komme auf folgendes:
Ordnung 1: Eine Gruppe
Ordnung 2: Eine Gruppe
Ordnung 3: Eine Gruppe
Ordnung 4: Zwei Gruppen

Alle sind abelsch. Morgen werde ich das nochmal etwas ausführlicher begründen.

MfG
Christian
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Knusperkaiser (Knusperkaiser)
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Neues Mitglied
Benutzername: Knusperkaiser

Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 10-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 11:44:   Beitrag drucken

Jo, vielen Dank, jetzt hab ich es hinbekommen. Falls du noch spontan eine Anregung hast, für welche n Sn (Symmetrische Gruppe) und D2n (Didier-Gruppe) isomorph sind, wär das schön, aber du hast mir auch so viel geholfen.
Danke
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1601
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 13:54:   Beitrag drucken

Hallo

Ich würde sagen, dass die symmetrische Gruppe und die Diedergruppe für kein n zueinander isomorph sind. Das liegt an folgendem:
Die Diedergruppe D2n hat die Ordnung 2n und die symmetrische Gruppe Sn hat die Ordnung n!. Es gilt aber n!¹2n für alle natürlichen Zahlen. Endliche Gruppen können logischerweise nur zueinander isomorph sein, wenn sie die gleiche Ordnung haben.

MfG
Christian
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Knusperkaiser (Knusperkaiser)
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Benutzername: Knusperkaiser

Nummer des Beitrags: 3
Registriert: 10-2004
Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 18:07:   Beitrag drucken

So hatte ich auch vermutet, allerdings würde es ja für n=3 mit der Ordnung passen und mir kam das etwas kurz vor.

Viele Dank,
Michael
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Christian_s (Christian_s)
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Senior Mitglied
Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1602
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 09:10:   Beitrag drucken

Hallo Michael

Du hast natürlich recht, für n=3 gilt n!=2n :-) Und dann sind die beiden Gruppen auch tatsächlich isomorph!

Dazu schauen wir und zunächst die Definition der Diedergruppe D2n an. D2n ist die Diedergruppe, wenn sie von zwei Elementen x und y erzeugt wird, die folgende Eigenschaften haben
i) x2=1
ii) yn=1
iii) xy=y-1x

Nun betrachten wir die symmetrische Gruppe. Setze
x=(1 3)
y=(2 3 1)
[Zyklenschreibweise]

Man rechnet nach, dass S3 von diesen beiden Elementen erzeugt wird und dass die Eigenschaften i)-iii) erfüllt sind.

MfG
Christian
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Knusperkaiser (Knusperkaiser)
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Benutzername: Knusperkaiser

Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 10-2004
Veröffentlicht am Freitag, den 22. Oktober, 2004 - 10:25:   Beitrag drucken

Hi, hab deine Tipps leider zu spät gelesen, trotzdem danke. Ich hab die Abbildung einfach hingeschrieben und Bijektivität und Linearität überprüft. Ich hoffe, das geht auch. Die Eigenschaften der Diedergruppe, wie du sie beschrieben hast, haben wir leider nicht gemacht.
Gruß, der Knusperkaiser

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