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Knusperkaiser (Knusperkaiser)
Neues Mitglied Benutzername: Knusperkaiser
Nummer des Beitrags: 1 Registriert: 10-2004
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 2004 - 09:58: |
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Wieviele Gruppen der Ordnung 1,2,3,4 gibt es bis auf Isomorphie?? Und welche davon sind eigentlich abelsch?? |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1599 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 2004 - 19:32: |
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Hallo Ich würde hier einfach versuchen die Gruppen zu konstruieren. Z.B. mit Gruppentafeln. Ich komme auf folgendes: Ordnung 1: Eine Gruppe Ordnung 2: Eine Gruppe Ordnung 3: Eine Gruppe Ordnung 4: Zwei Gruppen Alle sind abelsch. Morgen werde ich das nochmal etwas ausführlicher begründen. MfG Christian
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Knusperkaiser (Knusperkaiser)
Neues Mitglied Benutzername: Knusperkaiser
Nummer des Beitrags: 2 Registriert: 10-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 11:44: |
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Jo, vielen Dank, jetzt hab ich es hinbekommen. Falls du noch spontan eine Anregung hast, für welche n Sn (Symmetrische Gruppe) und D2n (Didier-Gruppe) isomorph sind, wär das schön, aber du hast mir auch so viel geholfen. Danke |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1601 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 13:54: |
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Hallo Ich würde sagen, dass die symmetrische Gruppe und die Diedergruppe für kein n zueinander isomorph sind. Das liegt an folgendem: Die Diedergruppe D2n hat die Ordnung 2n und die symmetrische Gruppe Sn hat die Ordnung n!. Es gilt aber n!¹2n für alle natürlichen Zahlen. Endliche Gruppen können logischerweise nur zueinander isomorph sein, wenn sie die gleiche Ordnung haben. MfG Christian |
Knusperkaiser (Knusperkaiser)
Neues Mitglied Benutzername: Knusperkaiser
Nummer des Beitrags: 3 Registriert: 10-2004
| Veröffentlicht am Sonntag, den 17. Oktober, 2004 - 18:07: |
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So hatte ich auch vermutet, allerdings würde es ja für n=3 mit der Ordnung passen und mir kam das etwas kurz vor. Viele Dank, Michael |
Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1602 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 18. Oktober, 2004 - 09:10: |
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Hallo Michael Du hast natürlich recht, für n=3 gilt n!=2n Und dann sind die beiden Gruppen auch tatsächlich isomorph! Dazu schauen wir und zunächst die Definition der Diedergruppe D2n an. D2n ist die Diedergruppe, wenn sie von zwei Elementen x und y erzeugt wird, die folgende Eigenschaften haben i) x2=1 ii) yn=1 iii) xy=y-1x Nun betrachten wir die symmetrische Gruppe. Setze x=(1 3) y=(2 3 1) [Zyklenschreibweise] Man rechnet nach, dass S3 von diesen beiden Elementen erzeugt wird und dass die Eigenschaften i)-iii) erfüllt sind. MfG Christian |
Knusperkaiser (Knusperkaiser)
Neues Mitglied Benutzername: Knusperkaiser
Nummer des Beitrags: 4 Registriert: 10-2004
| Veröffentlicht am Freitag, den 22. Oktober, 2004 - 10:25: |
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Hi, hab deine Tipps leider zu spät gelesen, trotzdem danke. Ich hab die Abbildung einfach hingeschrieben und Bijektivität und Linearität überprüft. Ich hoffe, das geht auch. Die Eigenschaften der Diedergruppe, wie du sie beschrieben hast, haben wir leider nicht gemacht. Gruß, der Knusperkaiser |