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Lockere Folge 496: Involutionssatz de...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge 496: Involutionssatz des vollständigen Vierecks « Zurück Vor »

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4513
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 14. Oktober, 2004 - 20:42:   Beitrag drucken

Hi allerseits,

In der Aufgabe LF 496 erscheint eine Punktinvolution,
die nicht ohne weiteres voraussehbar ist.
Es handelt sich um einen der schönsten Sätze der projektiven
Geometrie.
Gemeint ist der Involutionssatz des vollständigen Vierecks;
er lautet:

Schneidet man die sechs Seiten eines vollständigen Vierecks
mit einer beliebigen Geraden g, die nicht durch eine Ecke geht,
so bilden die Schnittpunkte mit gegenüberliegenden Seiten
entsprechende Punktepaare einer Punktinvolution auf g.

Wir testen diesen Satz an einem numerischen Beispiel.

Gegeben sind die vier Ecken A,B,C,D des vollständigen
Vierecks durch ihre Koordinaten:
A(-2/1),B(0/0),C(3/5),D(-4/3).

Gerade g : y = - 15.

Die Gegenseiten sind die Geradenpaare AB und CD,
BC und AD, AC und BD.

AB schneidet g in U, CD schneidet g im Bildpunkt U´
BC schneidet g in V, AD schneidet g im Bildpunkt V´
AC schneidet g in W, BD schneidet g im Bildpunkt W´

Man bestätige, dass die genannten Punktepaare einer
Involution auf g angehören und ermittle
die Gleichung dieser Involution.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4516
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 15. Oktober, 2004 - 08:55:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Eine Wegmarke zur Lösung der Aufgabe LF 496.
Die Gleichung der Involution lautet:
7* x x ´ - 314 * (x + x´) + 2457 = 0

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1654
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 2004 - 10:26:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich erhalte als mögliche Involution:

7*xx' - 314*(x+x') + 2452 = 0

Zum Vergleich meine Punktepaare:

U 30 ... U' -67
V -9 ... V' 14
W -22 . W' 20

Es liegt eine Involution vor, da der Term AC-B^2 wieder ungleich 0 ist!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4519
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 16. Oktober, 2004 - 11:26:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Alle Deine numerischen Werte sind richtig,insbesondere auch die Konstante
2452.

MfG
H.R.Moser,megamath

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