Themenbereiche Themenbereiche Profile Hilfe/Anleitungen Help    
Recent Posts Last 1|3|7 Days Suche Suche Tree Tree View  

Lockere Folge :483 : Punktinvolution,...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Geometrie » Lockere Folge :483 : Punktinvolution,erzeugt durch eine quadratische Gleichung « Zurück Vor »

Das Archiv für dieses Kapitel findest Du hier.

Autor Beitrag
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4472
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 08:27:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Die Aufgabe 483 lautet:

Gegeben ist die quadratischen Gleichung G in x:

[a1 x^2 + 2 b1 x + c1] + L * [a2 x^2 + 2 b2 x + c2] = 0

L ist ein reeller Parameter; jedem Wert von L entsprechen
zwei Lösungen x und x´ der großen quadratischen Gleichung G.
Vorausgesetzt wird:
die beiden quadratischen Gleichungen
a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0
a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0
haben keine gemeinsamen Lösungen.

Man beweise:
die beiden Punkte P und P´ auf der x-Achse,
welche zu den Abszissenwerten x und x´ gehören,
bilden daselbst eine Punktinvolution .

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath


Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4473
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 12:54:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Aufgabe LF 483 ist ziemlich anspruchsvoll.
Daher gebe ich ein paar Hilfen:
Man setze s = x + x´ , p = x * x´ und verwende
den Satz von Vieta für quadratische Gleichungen.
Aus den beiden Gleichungen, die man so erhält,
eliminiere man L und gebe der Schlussgleichung
die Form
A x x ´ + B ( x + x´ ) + C = 0
Man untersuche die Koeffizienten A, B, C
und ermittle insbesondere den Term
T = AC – B^2.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1633
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 15:45:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich erhalte so etwas:

bei Axx' + B(x + x') + C = 0

für die Koeffizienten:

A = 2*[a1b2 - a2b1]
B = 2*[a2c1 - a1c2]
C = [b1c2 - b2c1]

Ich hatte:

x + x' = 2{b1 + Lb2}/{a1 + La2}
xx' = {c1 + Lc2}/{a1 + La2}

Den Term T muss ich später mal genauer untersuchen...,falls das hier so stimmt.

mfg

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4474
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 18:24:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Dein Ergebnis ist auf gutem Weg, abgesehen von Faktoren 2
Ich habe, ohne Gewähr, das folgende Resultat:

2(a2b1-a1b2)xx´+(a2c1-a1c2)(x+x´) +2(b2c1-b1c2) = 0.

Daraus lassen sich A,B,C ablesen.
Für den Term T gilt:
T = - R.
R ist die so genannte Resultante der beiden quadratischen Gleichungen

a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0
a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0.

R ist genau dann null, wenn die beiden quadratischen Gleichung eine gemeinsame Lösung haben.
Dies haben wir aber ausgeschlossen.
Somit ist R und damit auch T
von null verschieden.

Mehr davon später.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath

Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Tl198 (Tl198)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1634
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 20:33:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe meine Rechnung noch mal überprüft und komme nun auf:

2(a2b1-a1b2)xx' + (a1c2-a2c1)(x+x') + 2(b2c1-b1c2)=0

Also nur noch der lästige Term vor x+x'...

Meine Rechnung:

s/2 = [r*{a2b1-a1b2} + {b2c1-b1c2}]/[a2c1-a1c2]
[a2c1-a1c2]*s = 2r*{a2b1-a1b2} + 2{b2c1-b1c2}
2r*{a2b1-a1b2} + 2{b2c1-b1c2} - [a2c1-a1c2]*s = 0
2{a2b1-a1b2}r + {a1c2-a2c1}s + 2{b2c1-b1c2}= 0

mfg
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4475
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 21:15:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Ich danke Dir für Deine Bemühungen.
Der Aufwand lohnt sich ,weil wir im Term T
die Resultante R erkennen.
Ich komme emorgen auf den Sinn der Sache zurück.

MfG
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4476
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. Oktober, 2004 - 11:20:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Zuerst soll gezeigt werden, dass die erwähnte Resultante R darüber entscheidet, ob die beiden
quadratischen Gleichungen

a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0
a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0

eine gemeinsame Lösung haben oder
nicht.
R = 0 < - - - > ex. gemeinsame Lösungen

Dies vorneweg:
Der Ausdruck für R lautet:

R = 4 m n + q^2,
mit

m = a2 b1 - a1 b2
n = b1 c2 – b2 c1
q = c1 a2 – c2 a1 .

Wir erkennen zyklische Vertauschungen der Buchstaben.

Nun nehmen wir an, x sei eine gemeinsame Lösung
der Gleichungen
a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0
a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0
Aus diesen Gleichungen eliminieren wir mit dem
Additions-Subtraktionsverfahren der Reihe nach
x und dann x^2
Es entstehen die neuen Gleichungen

m * x^2 + n = 0
2 m * x + q = 0

Fallunterscheidung:

1.Fall: m = 0
Es gilt dann simultan n = 0 , q = 0
und aus alledem folgt R = 0.

Die beiden quadratischen Gleichungen stimmen bis auf einen Faktor überein und haben beide Wurzeln gemeinsam.


2.Fall: m ungleich null:
Wir lösen die zweite Gleichung nach x auf und setzen
x = - q / (2m) in die erste ein.
Es kommt….:
m * q^2 / (4 m^2) + n = 0 oder
q^2 + 4 m * n = 0, somit
R = 0, wzbw.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamah
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4477
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Montag, den 04. Oktober, 2004 - 11:34:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Es bleibt noch nachzuweisen,
dass der Term T mit dem Term (– R) übereinstimmt.
Nach einigen Umstellungen, unterstützt von
Miss Marple,
ist mir das zu meinem Erstaunen gelungen.

Damit ist nachgewiesen, dass unter der genannten
Voraussetzung eine Punktinvolution vorliegt.

Zur Formel
A x * x´+ B (x + x´) + C = 0
gehört ja die Klausel:
A * C – B ^ 2 ungleich null.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
Seitenanfangvoriger Beitragnächster BeitragSeitenende Link zu diesem Beitrag

Megamath (Megamath)
Suche alle Beiträge dieser Person in dieser Hauptrubrik
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4482
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Oktober, 2004 - 09:32:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Es folgt ein weiterer kleiner Exkurs über die
Resultante R zweier quadratischer Gleichungen

a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0
a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0

Mit den Abkürzungen

m = a2 b1 - a1 b2
n = b1 c2 – b2 c1
q = c1 a2 – c2 a1 .

lässt sich R, wie wir gezeigt haben, so darstellen:

R = 4 m n + q ^ 2.

Wir benützen zusätzlich die Terme
d1 = a1 c1 – b1^2
d2 = a2 c2 – b2^2

und die Simultaninvariante s12 , die in der
Aufgabe LF 482 eine zentrale Rolle spielte;
sie lautet so:

s12 = a1*c2 + a2*c1 – 2 b1*b2

Nützlich ist weiter die Jacobische Determinante
f12 von f1,f2;

f12 = - m * x^2 – q * x + n

Nach diesen langwierigen Vorbereitungen
sollen die Ergebnisse präsentiert werden
(bitte nachrechnen!).

Es gelten die folgenden Relationen

(I)

R = s12 – 4 * d1 * d2

(II)

K = - f12 ^ 2 für alle x,

wobei

K = d2 * f1^2 – s12 * f1* f2 + d1 * f2^2


MfG
H.R.Moser,megamath



Beitrag verfassen
Das Senden ist in diesem Themengebiet nicht unterstützt. Kontaktieren Sie den Diskussions-Moderator für weitere Informationen.

ad

Administration Administration Abmelden Abmelden   Previous Page Previous Page Next Page Next Page