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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4472 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 08:27: |
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Hi allerseits Die Aufgabe 483 lautet: Gegeben ist die quadratischen Gleichung G in x: [a1 x^2 + 2 b1 x + c1] + L * [a2 x^2 + 2 b2 x + c2] = 0 L ist ein reeller Parameter; jedem Wert von L entsprechen zwei Lösungen x und x´ der großen quadratischen Gleichung G. Vorausgesetzt wird: die beiden quadratischen Gleichungen a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0 a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0 haben keine gemeinsamen Lösungen. Man beweise: die beiden Punkte P und P´ auf der x-Achse, welche zu den Abszissenwerten x und x´ gehören, bilden daselbst eine Punktinvolution . Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4473 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 12:54: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 483 ist ziemlich anspruchsvoll. Daher gebe ich ein paar Hilfen: Man setze s = x + x´ , p = x * x´ und verwende den Satz von Vieta für quadratische Gleichungen. Aus den beiden Gleichungen, die man so erhält, eliminiere man L und gebe der Schlussgleichung die Form A x x ´ + B ( x + x´ ) + C = 0 Man untersuche die Koeffizienten A, B, C und ermittle insbesondere den Term T = AC – B^2. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1633 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 15:45: |
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Hi megamath, ich erhalte so etwas: bei Axx' + B(x + x') + C = 0 für die Koeffizienten: A = 2*[a1b2 - a2b1] B = 2*[a2c1 - a1c2] C = [b1c2 - b2c1] Ich hatte: x + x' = 2{b1 + Lb2}/{a1 + La2} xx' = {c1 + Lc2}/{a1 + La2} Den Term T muss ich später mal genauer untersuchen...,falls das hier so stimmt. mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4474 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 18:24: |
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Hi Ferdi Dein Ergebnis ist auf gutem Weg, abgesehen von Faktoren 2 Ich habe, ohne Gewähr, das folgende Resultat: 2(a2b1-a1b2)xx´+(a2c1-a1c2)(x+x´) +2(b2c1-b1c2) = 0. Daraus lassen sich A,B,C ablesen. Für den Term T gilt: T = - R. R ist die so genannte Resultante der beiden quadratischen Gleichungen a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0 a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0. R ist genau dann null, wenn die beiden quadratischen Gleichung eine gemeinsame Lösung haben. Dies haben wir aber ausgeschlossen. Somit ist R und damit auch T von null verschieden. Mehr davon später. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1634 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 20:33: |
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Hi megamath, ich habe meine Rechnung noch mal überprüft und komme nun auf: 2(a2b1-a1b2)xx' + (a1c2-a2c1)(x+x') + 2(b2c1-b1c2)=0 Also nur noch der lästige Term vor x+x'... Meine Rechnung: s/2 = [r*{a2b1-a1b2} + {b2c1-b1c2}]/[a2c1-a1c2] [a2c1-a1c2]*s = 2r*{a2b1-a1b2} + 2{b2c1-b1c2} 2r*{a2b1-a1b2} + 2{b2c1-b1c2} - [a2c1-a1c2]*s = 0 2{a2b1-a1b2}r + {a1c2-a2c1}s + 2{b2c1-b1c2}= 0 mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4475 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 21:15: |
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Hi Ferdi Ich danke Dir für Deine Bemühungen. Der Aufwand lohnt sich ,weil wir im Term T die Resultante R erkennen. Ich komme emorgen auf den Sinn der Sache zurück. MfG H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4476 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. Oktober, 2004 - 11:20: |
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Hi Ferdi Zuerst soll gezeigt werden, dass die erwähnte Resultante R darüber entscheidet, ob die beiden quadratischen Gleichungen a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0 a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0 eine gemeinsame Lösung haben oder nicht. R = 0 < - - - > ex. gemeinsame Lösungen Dies vorneweg: Der Ausdruck für R lautet: R = 4 m n + q^2, mit m = a2 b1 - a1 b2 n = b1 c2 – b2 c1 q = c1 a2 – c2 a1 . Wir erkennen zyklische Vertauschungen der Buchstaben. Nun nehmen wir an, x sei eine gemeinsame Lösung der Gleichungen a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0 a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0 Aus diesen Gleichungen eliminieren wir mit dem Additions-Subtraktionsverfahren der Reihe nach x und dann x^2 Es entstehen die neuen Gleichungen m * x^2 + n = 0 2 m * x + q = 0 Fallunterscheidung: 1.Fall: m = 0 Es gilt dann simultan n = 0 , q = 0 und aus alledem folgt R = 0. Die beiden quadratischen Gleichungen stimmen bis auf einen Faktor überein und haben beide Wurzeln gemeinsam. 2.Fall: m ungleich null: Wir lösen die zweite Gleichung nach x auf und setzen x = - q / (2m) in die erste ein. Es kommt….: m * q^2 / (4 m^2) + n = 0 oder q^2 + 4 m * n = 0, somit R = 0, wzbw. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamah
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4477 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 04. Oktober, 2004 - 11:34: |
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Hi Ferdi Es bleibt noch nachzuweisen, dass der Term T mit dem Term (– R) übereinstimmt. Nach einigen Umstellungen, unterstützt von Miss Marple, ist mir das zu meinem Erstaunen gelungen. Damit ist nachgewiesen, dass unter der genannten Voraussetzung eine Punktinvolution vorliegt. Zur Formel A x * x´+ B (x + x´) + C = 0 gehört ja die Klausel: A * C – B ^ 2 ungleich null. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4482 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Mittwoch, den 06. Oktober, 2004 - 09:32: |
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Hi allerseits Es folgt ein weiterer kleiner Exkurs über die Resultante R zweier quadratischer Gleichungen a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0 a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0 Mit den Abkürzungen m = a2 b1 - a1 b2 n = b1 c2 – b2 c1 q = c1 a2 – c2 a1 . lässt sich R, wie wir gezeigt haben, so darstellen: R = 4 m n + q ^ 2. Wir benützen zusätzlich die Terme d1 = a1 c1 – b1^2 d2 = a2 c2 – b2^2 und die Simultaninvariante s12 , die in der Aufgabe LF 482 eine zentrale Rolle spielte; sie lautet so: s12 = a1*c2 + a2*c1 – 2 b1*b2 Nützlich ist weiter die Jacobische Determinante f12 von f1,f2; f12 = - m * x^2 – q * x + n Nach diesen langwierigen Vorbereitungen sollen die Ergebnisse präsentiert werden (bitte nachrechnen!). Es gelten die folgenden Relationen (I) R = s12 – 4 * d1 * d2 (II) K = - f12 ^ 2 für alle x, wobei K = d2 * f1^2 – s12 * f1* f2 + d1 * f2^2 MfG H.R.Moser,megamath
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