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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4465 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 18:25: |
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Hi allerseits Die Aufgabe 482 lautet: Gegeben sind die beiden quadratischen Gleichungen a1 x^2 + 2 b1 x + c1 = 0, Lösungen x1, x2 a2 x^2 + 2 b2 x + c2 = 0 , Lösungen x3, x4 (alle vier Werte xj seien voneinander verschieden). Die Lösungen werden als Abszissen von vier Punkten P1,P2,P3,P4 auf der x-Achse aufgefasst. Unter welchen Bedingungen sind diese vier Punzte in harmonischer Lage? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1629 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 19:32: |
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Hi megamath, wir hatten doch mal eine Formel hergeleitet vor kurzem, sie steht in meinen Unterlagen: Es liegt eine harmonische Punktgruppe wenn (x1+x2)*(x3+x4)–2x1x2–2x3x4=0 gilt! Oder soll das noch durch a1, a2 etc ausgedrückt werden? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4466 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 21:01: |
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Hi Ferdi Habe ich damals doch schon etwas zuviel verraten! Ja,so ist die Aufgabe gemeint: wir erhalten eine Beziehung in den sechs Koeffizienten! MfG H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4467 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 08:18: |
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Hi allerseits Ein rettender Gedanke zur Lösung der Aufgabe LF 482: Man benütze eine schon früher mitgeteilte Formel, gültig bei harmonischer Lage der vier Punkte Pj (xj), j = 1..4; confer Hinweis zu LF 475. Die Formel lautet: (x1+x2)*(x3+x4) – 2 * x1 x2 – 2 * x3 x4 = 0 Das Resultat lautet: s12 = a1*c2 + a2*c1 – 2 b1*b2 = 0 Der Term s12 wird aus bestimmten Gründen Simultaninvariante der quadratischen Formen a1 x^2 + 2 b1 x + c1 a2 x^2 + 2 b2 x + c2 genannt. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4470 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 20:01: |
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Hi allerseits Es fehlt noch ein Glied in der Beweiskette ! MfG H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1632 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 02. Oktober, 2004 - 22:48: |
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Hi megamath, nur ganz kurz: vielleicht meinst du diese Lücke im Beweis: Nach Vieta gilt: (x+x1)*(x+x2) = x^2 + (x1+x2)x + x1x2 (x+x3)*(x+x4) = x^2 + (x3+x4)x + x3x4 Normiert man die gegebenen Gleichungen so das vor x^2 eine 1 steht, so erhält man: (x1+x2) = 2b1/a1 ; x1x2 = c1/a1 (x3+x4) = 2b2/a2 ; x3x4 = c2/a2 Setzt man das in die Relation (x1+x2)*(x3+x4)–2x1x2–2x3x4=0 ein, so erhält man: 4b1b2/(a1a2) - 2c1/a1 - 2c2/a2 = 0 oder Nenner wegschaffen und alles auf die rechte Seite bringen: a2c1 + a1c2 - 2b1b2 = 0 q.e.d. mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4471 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 03. Oktober, 2004 - 08:21: |
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Hi Ferdi Jetzt ist alles ok ! MfG H.R.Moser,megaamth |