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Lockere Folge 479 : Berechnung einer ...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4456
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 06:53:   Beitrag drucken

Hi allerseits



Die Aufgabe LF 479 ist eine Verallgemeinerung der Aufgabe
LF 478.

Es soll eine Punktinvolution rechnerisch bestimmt werden.

Die Abbildungsgleichung einer solchen Involution lautet:
a x x´+ b (x + x´) + c = 0.

Folgende Zuordnung sei gegeben
P1 (x1) geht über in P´1 (X1)
P2 (x2) geht über in P´2 (X2)
P3 (x3) geht über in P´3 (X3)

Gegeben sind
x1,x2,x3 sowie X1, X2.

Gesucht werden
die Koeffizienten a, b, c
sowie die Abszisse X3 des Bildpunktes P´3 von P3.

Man benütze die Determinante, welche in der Aufgabe LF 474
vorkommt!

Man wende das Ergebnis zur Kontrolle auf das
Beispiel aus Aufgabe LF 478 an.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4458
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 13:14:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Erste Hilfe zur Lösung der Aufgabe LF 479:

Es lassen sich drei homogene lineare Gleichungen für die
Variablen a,b,c aufstellen.
Mit einer bekannten Schlussweise ergibt sich eine
Gleichung, in der die genannte Determinante die Hauptrolle spielt.

Mit freundlichen Grüßen
H,R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1624
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 17:56:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich erhalte das Gleichungssystem:

ax1X1 + b(x1+X1) + c = 0
ax2X2 + b(x2+X2) + c = 0
ax3X3 + b(x3+X3) + c = 0

Dann kann man ja die Lösungen angeben:

a = D1/D , b = D2/D , c = D3/D

D ist die Determinante der Matrix der linken Seite:
D =
x1X1x1+X11
x2X2x2+X21
x3X3x3+X31


sie kommt uns ja von LF474 bekannt vor!

Wobei bei D1, D2 und D3 doch eine Kolonne [ bei D1 die erste, bei D2 die zweite...] durch [0,0,0]{rechte Seite} ersetzt wird.

Nur Frage ich mich ob ich das hier so verwenden kann, den wen ich die Kolonen vertauche kommt ja eine Nullreihe in die Matrix ==> det(M) = 0!

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4459
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 19:09:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Bravo!
Du bist ganz nahe am Ball!
Ich zeige Dir nun, wie man einen Treffer erzielt.

Die Schlussweise, die folgen wird, ist berühmt und
wird oft überraschend eingesetzt .z.B. auch bei der
Herleitung des charakteristischen Polynoms,
wenn es darum geht, Eigenwerte zu berechnen.

Die von Dir angeschriebene Determinante D ist die Determinante des homogenen Gleichungssystems,
das genau dann nichttriviale Lösungen (nicht 0/0/0)
für a, b ,c hat, wenn D = 0 gilt.
Wir müssen für unsere Aufgabe deshalb fordern:
D = 0, das ist unabdingbar!
°°°°°°

Setze alle bekannten Werte in die Determinante ein, verlange D = 0 und löse
die so entstandene Gleichung nach X3 auf.

Um a, b , c kümmern wir uns vorläufig gar nicht !

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1626
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 22:07:   Beitrag drucken

Hi megamath,

also schöner als so hab ichs bis jetzt nicht hinbekommen:

X3 = Z / N

Z = [x1X1(x2+X2-x3) - x2X2(x1+X1-x3)]
N = [x1X1 - x2X2 - x3(x1+X1) - x3(x2+X2)]

Vielleicht findest du eine schönere Darstellung...

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4460
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 12:52:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Wenn ich die numerischen Werte in Deine Schlussformel
einsetze, entsteht ein falsches Ergebnis; offenbar
enthält diese Formel Fehler.

Besser geht es so
Man setzt die Werte direkt in der Determinante ein, setzt diese null und löst nach X3 auf; das Ergebnis ist
X3 = 1/5, wie es sein muss.

Oder so
Man berechne X3 allgemein

Meine Version lautet:
mit
P = x2*X2*X1 - x2*X2*x3-x2*x1*X1+x1*x2*X2+x1*X1*x3-x1*X2*X1
und
Q = - X2*x3 - x1*X1 + x1*x3 - x2*x3 + x2*X2 + X1*x3
kommt:
X3 = P / Q =1/5

Oder schließlich gemäß meiner Lösung zu LF 474:

Mit

S1 = (X2-x1) *(X3-x2)*(X1-x3)
S2:= (x2-X1)*(x3-X2)*(x1-X3)

erhalten wir
S = S1+S2 = - 5 X3 + 1.

Setze S = 0 und bestimme X3;
Resultat wie oben.


Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath



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