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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4456 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 06:53: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 479 ist eine Verallgemeinerung der Aufgabe LF 478. Es soll eine Punktinvolution rechnerisch bestimmt werden. Die Abbildungsgleichung einer solchen Involution lautet: a x x´+ b (x + x´) + c = 0. Folgende Zuordnung sei gegeben P1 (x1) geht über in P´1 (X1) P2 (x2) geht über in P´2 (X2) P3 (x3) geht über in P´3 (X3) Gegeben sind x1,x2,x3 sowie X1, X2. Gesucht werden die Koeffizienten a, b, c sowie die Abszisse X3 des Bildpunktes P´3 von P3. Man benütze die Determinante, welche in der Aufgabe LF 474 vorkommt! Man wende das Ergebnis zur Kontrolle auf das Beispiel aus Aufgabe LF 478 an. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4458 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 13:14: |
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Hi allerseits Erste Hilfe zur Lösung der Aufgabe LF 479: Es lassen sich drei homogene lineare Gleichungen für die Variablen a,b,c aufstellen. Mit einer bekannten Schlussweise ergibt sich eine Gleichung, in der die genannte Determinante die Hauptrolle spielt. Mit freundlichen Grüßen H,R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1624 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 17:56: |
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Hi megamath, ich erhalte das Gleichungssystem: ax1X1 + b(x1+X1) + c = 0 ax2X2 + b(x2+X2) + c = 0 ax3X3 + b(x3+X3) + c = 0 Dann kann man ja die Lösungen angeben: a = D1/D , b = D2/D , c = D3/D D ist die Determinante der Matrix der linken Seite: D =
x1X1 | x1+X1 | 1 | x2X2 | x2+X2 | 1 | x3X3 | x3+X3 | 1 | sie kommt uns ja von LF474 bekannt vor! Wobei bei D1, D2 und D3 doch eine Kolonne [ bei D1 die erste, bei D2 die zweite...] durch [0,0,0]{rechte Seite} ersetzt wird. Nur Frage ich mich ob ich das hier so verwenden kann, den wen ich die Kolonen vertauche kommt ja eine Nullreihe in die Matrix ==> det(M) = 0! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4459 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 19:09: |
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Hi Ferdi Bravo! Du bist ganz nahe am Ball! Ich zeige Dir nun, wie man einen Treffer erzielt. Die Schlussweise, die folgen wird, ist berühmt und wird oft überraschend eingesetzt .z.B. auch bei der Herleitung des charakteristischen Polynoms, wenn es darum geht, Eigenwerte zu berechnen. Die von Dir angeschriebene Determinante D ist die Determinante des homogenen Gleichungssystems, das genau dann nichttriviale Lösungen (nicht 0/0/0) für a, b ,c hat, wenn D = 0 gilt. Wir müssen für unsere Aufgabe deshalb fordern: D = 0, das ist unabdingbar! °°°°°° Setze alle bekannten Werte in die Determinante ein, verlange D = 0 und löse die so entstandene Gleichung nach X3 auf. Um a, b , c kümmern wir uns vorläufig gar nicht ! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1626 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 30. September, 2004 - 22:07: |
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Hi megamath, also schöner als so hab ichs bis jetzt nicht hinbekommen: X3 = Z / N Z = [x1X1(x2+X2-x3) - x2X2(x1+X1-x3)] N = [x1X1 - x2X2 - x3(x1+X1) - x3(x2+X2)] Vielleicht findest du eine schönere Darstellung... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4460 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 01. Oktober, 2004 - 12:52: |
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Hi Ferdi Wenn ich die numerischen Werte in Deine Schlussformel einsetze, entsteht ein falsches Ergebnis; offenbar enthält diese Formel Fehler. Besser geht es so Man setzt die Werte direkt in der Determinante ein, setzt diese null und löst nach X3 auf; das Ergebnis ist X3 = 1/5, wie es sein muss. Oder so Man berechne X3 allgemein Meine Version lautet: mit P = x2*X2*X1 - x2*X2*x3-x2*x1*X1+x1*x2*X2+x1*X1*x3-x1*X2*X1 und Q = - X2*x3 - x1*X1 + x1*x3 - x2*x3 + x2*X2 + X1*x3 kommt: X3 = P / Q =1/5 Oder schließlich gemäß meiner Lösung zu LF 474: Mit S1 = (X2-x1) *(X3-x2)*(X1-x3) S2:= (x2-X1)*(x3-X2)*(x1-X3) erhalten wir S = S1+S2 = - 5 X3 + 1. Setze S = 0 und bestimme X3; Resultat wie oben. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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