| Autor |
Beitrag |
    
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4441
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 09:50: | 
|
Hi allerseits
In der Aufgabe LF 475 soll eine projektive Abbildung der x-Achse auf sich untersucht werden
(man nennt Punktreihen auf demselben Träger auch
konjektive Punktreihen).
Gegeben ist die Abbildungsgleichung X= f(x), welche dem Punkt P(x) den Bildpunkt P´(X) zuordnet.
Die Abbildungsgleichung lautet:
X = 2 x / (1 + x)
a)
Wie lautet die Gleichung der Umkehrabbildung.
b)
Man bestimme die Fixpunkte M und N der Abbildung.
c)
Man berechne das Doppelverhältnis (MNPP´) der folgenden vier Punkte:
der beiden Doppelpunkte, des Originalpunktes P und
des Bildpunktes P´;
man nehme zur Kenntnis, dass dieses DV für alle Werte von x
konstant ist (die Konstante heisst Multiplikator der Projektivität).
d)
Man bestätige an einem Beispiel, dass eine solche Abbildung durch drei entsprechende Punktepaare A, A´; B, B´; C, C´ gegeben ist.
Man wähle zu diesem Zweck die folgenden numerischen Daten:
xA = - 3 ; xA´= 3
xB = - 2 ; xB´= 4
xC = unendlich ; xC´= 2.
Bestimme X= f(x) aus der Bedingung
DV (ABCP) = DV (A´B´C´P´)
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4442
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 10:00: |
|
Hi allerseits
Es folgt ein Hinweis zur Berechnung des Doppelverhältnisses (DV) von vier Punkten auf der x-Achse durch die Abszissen xj dieser Punkte.
Gegeben:
Punkte P(1(x1), P2(x2), P3(x3), P4(x4)
DV (P1P2P3P4) =
(x3-x1) / (x2-x3) : (x4-x1) / (x2-x4)
Durch eine leichte Umformung entsteht daraus:
DV =
[(x2x3+x1x4)-(x1x2+x3x4)] / [(x2x4+x1x3)-(x1x2+x3x4)]
Mit Hilfe der Abkürzungen
y1 = x1x4+x2x3
y2 = x2x4+x1x3
y3 = x3x4+x1x2
entsteht:
DV (P1P2P3P4) =(y1-y3)/(y2-y3)
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Ist das Doppelverhältnis der vier Punkte speziell
minus 1,
so liegt eine harmonische Punktgruppe vor; man sagt auch:
„die Punkte P3, P4 trennen die Punkte P1, P2 harmonisch“.
In diesem Fall gilt:
(x2-x4)(x3-x1) – (x1-x4)((x2-x3) = 0
oder
(x1+x2)*(x3+x4) – 2 * x1 x2 – 2 * x3 x4 = 0
°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Diese bemerkenswerte Formel wird uns bald gute Dienste leisten.
Sie soll vorgemerkt werden!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1615
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 18:05: |
|
Hi megamath,
ich hab folgende Ergebnisse:
zu a)
nach x auflösen liefert:
x = X / (2-X)
zu b)
Sei also X = x
x = 2x/(1+x)
x^2 - x = 0
x = 0 oder x = 1
Also M: x = 0 und N: x = 1
zu c)
sei x1 = x , x2 = 2x/(1+x), x3 = 0 , x4 = 1
Dann bestimme ich das Doppelverhältniss zu
DV(MNPP') = 1/2
Heißt das der Multiplikator ist (1/2)??
zu d)
Ich hab einfach gesetzt:
x1: -3 , x2: -2 , x3: infinity , x4 = x
x1': 3 , x2': 4 , x3': 2 , x4': X
Dann wie gesagt das DV gleichgesetzt und nach X aufgelöst[ obwohl da etwas dubioses Rechnen mit der Größe "unendlich" im Spiel ist] und erhalte:
-X - xX = -2x
X = 2x/(1+x) q.e.d.
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4443
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 19:53: |
|
Hi Ferdi
Die Resultate sind alle richtig,inklusive der dubiose Teil.
Ich komme später darauf zurück!
MfG
H.R.Moser,meganmath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4448
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 20:20: |
|
Hi Ferdi
Ich komme auf die Berechnung des DV
(ABCP) bei der Aufgabe LF 475 zurück.
Das Zahlenbeispiel lautete:
xA = - 3 ;
xB = - 2 ;
xC = unendlich ;
xP = x
Wir setzen zunächst xC = r und lassen bei günstiger Gelegenheit r gegen unendlich streben.
Wir erhalten für das Doppelverhältnis als Funktion von r
zunächst:
D ( r ) = (r+3) / (-2-r) : (x+3) / (-2-x)
Der Quotient (r+3) / (-2-r) strebt mit r gegen unendlich gegen
- 1.
Somit ist das gesuchte DV im Grenzfall
(2+x) / (x+3) .
NB
Wir werden bald die homogenen Koordinaten kennen lernen.
Dann lassen sich die unendlich fernen Elemente
der projektiven Ebene auch rechnerisch problemlos erfassen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
|
|
