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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4441 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 09:50: |
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Hi allerseits In der Aufgabe LF 475 soll eine projektive Abbildung der x-Achse auf sich untersucht werden (man nennt Punktreihen auf demselben Träger auch konjektive Punktreihen). Gegeben ist die Abbildungsgleichung X= f(x), welche dem Punkt P(x) den Bildpunkt P´(X) zuordnet. Die Abbildungsgleichung lautet: X = 2 x / (1 + x) a) Wie lautet die Gleichung der Umkehrabbildung. b) Man bestimme die Fixpunkte M und N der Abbildung. c) Man berechne das Doppelverhältnis (MNPP´) der folgenden vier Punkte: der beiden Doppelpunkte, des Originalpunktes P und des Bildpunktes P´; man nehme zur Kenntnis, dass dieses DV für alle Werte von x konstant ist (die Konstante heisst Multiplikator der Projektivität). d) Man bestätige an einem Beispiel, dass eine solche Abbildung durch drei entsprechende Punktepaare A, A´; B, B´; C, C´ gegeben ist. Man wähle zu diesem Zweck die folgenden numerischen Daten: xA = - 3 ; xA´= 3 xB = - 2 ; xB´= 4 xC = unendlich ; xC´= 2. Bestimme X= f(x) aus der Bedingung DV (ABCP) = DV (A´B´C´P´) Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4442 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 10:00: |
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Hi allerseits Es folgt ein Hinweis zur Berechnung des Doppelverhältnisses (DV) von vier Punkten auf der x-Achse durch die Abszissen xj dieser Punkte. Gegeben: Punkte P(1(x1), P2(x2), P3(x3), P4(x4) DV (P1P2P3P4) = (x3-x1) / (x2-x3) : (x4-x1) / (x2-x4) Durch eine leichte Umformung entsteht daraus: DV = [(x2x3+x1x4)-(x1x2+x3x4)] / [(x2x4+x1x3)-(x1x2+x3x4)] Mit Hilfe der Abkürzungen y1 = x1x4+x2x3 y2 = x2x4+x1x3 y3 = x3x4+x1x2 entsteht: DV (P1P2P3P4) =(y1-y3)/(y2-y3) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Ist das Doppelverhältnis der vier Punkte speziell minus 1, so liegt eine harmonische Punktgruppe vor; man sagt auch: „die Punkte P3, P4 trennen die Punkte P1, P2 harmonisch“. In diesem Fall gilt: (x2-x4)(x3-x1) – (x1-x4)((x2-x3) = 0 oder (x1+x2)*(x3+x4) – 2 * x1 x2 – 2 * x3 x4 = 0 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Diese bemerkenswerte Formel wird uns bald gute Dienste leisten. Sie soll vorgemerkt werden! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1615 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 18:05: |
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Hi megamath, ich hab folgende Ergebnisse: zu a) nach x auflösen liefert: x = X / (2-X) zu b) Sei also X = x x = 2x/(1+x) x^2 - x = 0 x = 0 oder x = 1 Also M: x = 0 und N: x = 1 zu c) sei x1 = x , x2 = 2x/(1+x), x3 = 0 , x4 = 1 Dann bestimme ich das Doppelverhältniss zu DV(MNPP') = 1/2 Heißt das der Multiplikator ist (1/2)?? zu d) Ich hab einfach gesetzt: x1: -3 , x2: -2 , x3: infinity , x4 = x x1': 3 , x2': 4 , x3': 2 , x4': X Dann wie gesagt das DV gleichgesetzt und nach X aufgelöst[ obwohl da etwas dubioses Rechnen mit der Größe "unendlich" im Spiel ist] und erhalte: -X - xX = -2x X = 2x/(1+x) q.e.d. mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4443 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 27. September, 2004 - 19:53: |
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Hi Ferdi Die Resultate sind alle richtig,inklusive der dubiose Teil. Ich komme später darauf zurück! MfG H.R.Moser,meganmath |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4448 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 28. September, 2004 - 20:20: |
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Hi Ferdi Ich komme auf die Berechnung des DV (ABCP) bei der Aufgabe LF 475 zurück. Das Zahlenbeispiel lautete: xA = - 3 ; xB = - 2 ; xC = unendlich ; xP = x Wir setzen zunächst xC = r und lassen bei günstiger Gelegenheit r gegen unendlich streben. Wir erhalten für das Doppelverhältnis als Funktion von r zunächst: D ( r ) = (r+3) / (-2-r) : (x+3) / (-2-x) Der Quotient (r+3) / (-2-r) strebt mit r gegen unendlich gegen - 1. Somit ist das gesuchte DV im Grenzfall (2+x) / (x+3) . NB Wir werden bald die homogenen Koordinaten kennen lernen. Dann lassen sich die unendlich fernen Elemente der projektiven Ebene auch rechnerisch problemlos erfassen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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