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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4404
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 09:17: | 
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Hi allerseits
Die nächsten Aufgaben der LF - Serie beziehen sich auf den
Satz von Brianchon bei Kegelschnitten.
Diesen Satz erhält man aus dem Satz von Pascal Wort für Wort
durch Dualisieren (cf. LF 462):
ersetze Schnittpunkt durch Verbindungsgerade,
Gegenseiten durch gegenüberliegende Ecken,
eingeschriebenes Sechseck durch umgeschriebenes Sechsseit,
„liegen auf“ durch „gehen durch“ usw.
Der Satz von Brianchon lautet:
Die Verbindungsgeraden der Gegenecken eines einem Kegelschnitt
umbeschriebenen Sechseits gehen durch einen Punkt, den
Brianchonpunkt Br.
Wir bezeichnen die sechs Tangenten mit den Ziffern 1 bis 6.
q ist die Verbindungsgerade der Schnittpunkte von 1,2 und 4,5.
r ist die Verbindungsgerade der Schnittpunkte von 2,3 und 5,6.
s ist die Verbindungsgerade der Schnittpunkte von 3,4 und 6,1.
Dann gehen q , r , s durch den Brianchon-Punkt Br.
Aufgabe LF 466:
Gegeben sind die fünf Geraden
t1: 3 x – y = 4
t2: - 3 x – y = 4
t3: - 3 x + y = 4
t4: 3 x + y = 4
t5: y = - 2
als Tangenten eines Kegelschnitts c, den sie bestimmen.
Auf t5 liegt der Punkt A(a / -2), wobei a die Rolle eines
reellen Parameters spielt.
Man ermittle mit Hilfe des Satzes von Brianchon
die zweite Tangente t6 durch A an den KS
bei Verwendung des Sechsseits t1 t2 t3 t4 t5 t6
(diese Reihenfolge der Ecken).
a) Man bestimme t6 durch Konstruktion (Wahl: a = 1).
b) Man ermittle allgemein die Gleichung von t6.
c) Welches sind die exakten Werte der Koordinaten
des Brianchonpunktes?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4405
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 09:22: |
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Hi allerseits
Eine hübsche Illustration zum Satz von BRIANCHON findet man hier bei Google:
http://enriques.mathematik.uni-mainz.de/arbeiten/wehr/chris_brianchon.html
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4406
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 12:34: |
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Hi allerseits,
Wer einen Blick auf die Lösung der Teilaufgabe b)
werfen möchte, schaut bei der Aufgabe
LF 465 nach!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1598
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 18. September, 2004 - 09:59: |
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Hi megamath,
wegen einer Familienfeier komme ich dieses Wochenende mal wieder zu nicht mathematischem!
Aber am Montag werde ich versuchen, die Aufgabe zu meistern! Wieder mit einer schönen Skizze!
Bis dahin,
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4409
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 15:11: |
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Hi allerseits
Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 466.
Die Lösung entspricht dual derjenigen der Aufgabe 462.
Zu a):
Die gegebenen Tangenten seien der Reihe nach mit
den Ziffern 1 bis 5 bezeichnet, die gesuchte Tangente
trägt die Bezeichnung 6.
Der gegebene Punkt A ist dann der Schnittpunkt 5-6.
Wir verbinden die Schnittpunkte H =1–2 und I = 4-5 durch die Gerade q
Wir verbinden die Schnittpunkte J = 2–3 und A = 5-6 durch die Gerade r
Der Schnittpunkt der Geraden q und r ist der
BRIANCHONPUNKT Br.
Richtschnur: Näherungswerte der Koordinaten von Br
sind:
x ~ 1,54 ; y ~ - 2,46.
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Nun wird der Schnittpunkt L von 3 – 4 mit Br verbunden
Die Verbindungsgerade heisst s.
Auf s liegt der Schnittpunkt M = 6-1.
Damit finden wir t6 = 6 als Verbindungsgerade der beiden
Punkte A und M.
Näherungen für die Koordinaten von M:
xM ~ 1,11 ; yM ~ - 0,67
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4410
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 15:41: |
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Hi allerseits
Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 466.
Zu b):
Die gegebenen Tangenten seien der Reihe nach mit
den Ziffern 1 bis 5 bezeichnet, die gesuchte Tangente
trägt die Bezeichnung 6.
Der gegebene Punkt A ist dann der Schnittpunkt 5-6.
Wir verbinden die Schnittpunkte H =1–2 und I = 4-5 durch die Gerade q
Wir verbinden die Schnittpunkte J = 2–3 und A = 5-6 durch die Gerade r
Resultate:
H (0/-4) ; I (2/-2)
q: y = x – 4.
J (-4/3;0) ; A( a / -2 )
r: 6 x + (3a +4) y = - 8.
Der Schnittpunkt der Geraden q und r ist der
BRIANCHONPUNKT Br.
Resultat
Die Koordinaten von Br lauten:
x = ( 8 + 12 a) / ( 10 + 3a ) ; y = - 32 / ( 10 + 3a )
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Nun wird der Schnittpunkt L von 3 – 4 mit Br verbunden
Die Verbindungsgerade heisst s.
Auf s liegt der Schnittpunkt M = 6-1.
Resultate
L(0/4)
Gleichung von s: (18 + 3a) x + (2 + 3 a ) y = 8 + 12 a.
M als Schnittpunkt von t1 : y = 3 x – 4 mit s ;
Koordinaten von M:
xM = (4 + 6a) / (6 + 3a) ; yM = ( 2a – 4 ) / ( 2 + a ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°
Damit finden wir t6 = 6 als Verbindungsgerade der beiden
Punkte A(a/-2) und M; Gleichung von t6:
12 a x – (4 – 3 a^2) y = 8 + 6 a ^ 2
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Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4411
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 17:21: |
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Hi allerseits
Wir stellen fest:
Die Gleichung der durch den laufenden Punkt A(a/-2) an die
durch die fünf Tangenten bestimmten Ellipse c gelegten
Tangente stimmt mit der in der Aufgabe LF 465 gegebenen
Geradenschar mit a als Parameter überein.
Wir sind daher nicht erstaunt, dass als Enveloppe dieser
Schar die Ellipse c entsteht.
Damit hat sich der Kreis, im vorliegenden Fall die Ellipse,
zu unserer Genugtuung ohne Rechenfehler, geschlossen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1599
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 21:26: |
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Hi megamath,
ich hab es doch noch heute geschafft!
Hier meine kleine Skizze, ich hoffe alles wird ersichtlich!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4412
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 09:13: |
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Hi Ferdi
Du hast alle Geraden und Punkte richtig platziert und angeschrieben!
Die kleine Skizze ergänzt meine Ausführungen aufs Beste, vielen Dank!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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