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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4404 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 09:17: |
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Hi allerseits Die nächsten Aufgaben der LF - Serie beziehen sich auf den Satz von Brianchon bei Kegelschnitten. Diesen Satz erhält man aus dem Satz von Pascal Wort für Wort durch Dualisieren (cf. LF 462): ersetze Schnittpunkt durch Verbindungsgerade, Gegenseiten durch gegenüberliegende Ecken, eingeschriebenes Sechseck durch umgeschriebenes Sechsseit, „liegen auf“ durch „gehen durch“ usw. Der Satz von Brianchon lautet: Die Verbindungsgeraden der Gegenecken eines einem Kegelschnitt umbeschriebenen Sechseits gehen durch einen Punkt, den Brianchonpunkt Br. Wir bezeichnen die sechs Tangenten mit den Ziffern 1 bis 6. q ist die Verbindungsgerade der Schnittpunkte von 1,2 und 4,5. r ist die Verbindungsgerade der Schnittpunkte von 2,3 und 5,6. s ist die Verbindungsgerade der Schnittpunkte von 3,4 und 6,1. Dann gehen q , r , s durch den Brianchon-Punkt Br. Aufgabe LF 466: Gegeben sind die fünf Geraden t1: 3 x – y = 4 t2: - 3 x – y = 4 t3: - 3 x + y = 4 t4: 3 x + y = 4 t5: y = - 2 als Tangenten eines Kegelschnitts c, den sie bestimmen. Auf t5 liegt der Punkt A(a / -2), wobei a die Rolle eines reellen Parameters spielt. Man ermittle mit Hilfe des Satzes von Brianchon die zweite Tangente t6 durch A an den KS bei Verwendung des Sechsseits t1 t2 t3 t4 t5 t6 (diese Reihenfolge der Ecken). a) Man bestimme t6 durch Konstruktion (Wahl: a = 1). b) Man ermittle allgemein die Gleichung von t6. c) Welches sind die exakten Werte der Koordinaten des Brianchonpunktes? Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4405 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 09:22: |
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Hi allerseits Eine hübsche Illustration zum Satz von BRIANCHON findet man hier bei Google: http://enriques.mathematik.uni-mainz.de/arbeiten/wehr/chris_brianchon.html Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4406 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 17. September, 2004 - 12:34: |
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Hi allerseits, Wer einen Blick auf die Lösung der Teilaufgabe b) werfen möchte, schaut bei der Aufgabe LF 465 nach! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1598 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 18. September, 2004 - 09:59: |
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Hi megamath, wegen einer Familienfeier komme ich dieses Wochenende mal wieder zu nicht mathematischem! Aber am Montag werde ich versuchen, die Aufgabe zu meistern! Wieder mit einer schönen Skizze! Bis dahin, mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4409 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 15:11: |
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Hi allerseits Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 466. Die Lösung entspricht dual derjenigen der Aufgabe 462. Zu a): Die gegebenen Tangenten seien der Reihe nach mit den Ziffern 1 bis 5 bezeichnet, die gesuchte Tangente trägt die Bezeichnung 6. Der gegebene Punkt A ist dann der Schnittpunkt 5-6. Wir verbinden die Schnittpunkte H =1–2 und I = 4-5 durch die Gerade q Wir verbinden die Schnittpunkte J = 2–3 und A = 5-6 durch die Gerade r Der Schnittpunkt der Geraden q und r ist der BRIANCHONPUNKT Br. Richtschnur: Näherungswerte der Koordinaten von Br sind: x ~ 1,54 ; y ~ - 2,46. °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Nun wird der Schnittpunkt L von 3 – 4 mit Br verbunden Die Verbindungsgerade heisst s. Auf s liegt der Schnittpunkt M = 6-1. Damit finden wir t6 = 6 als Verbindungsgerade der beiden Punkte A und M. Näherungen für die Koordinaten von M: xM ~ 1,11 ; yM ~ - 0,67 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4410 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 15:41: |
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Hi allerseits Skizze einer Lösung der Aufgabe LF 466. Zu b): Die gegebenen Tangenten seien der Reihe nach mit den Ziffern 1 bis 5 bezeichnet, die gesuchte Tangente trägt die Bezeichnung 6. Der gegebene Punkt A ist dann der Schnittpunkt 5-6. Wir verbinden die Schnittpunkte H =1–2 und I = 4-5 durch die Gerade q Wir verbinden die Schnittpunkte J = 2–3 und A = 5-6 durch die Gerade r Resultate: H (0/-4) ; I (2/-2) q: y = x – 4. J (-4/3;0) ; A( a / -2 ) r: 6 x + (3a +4) y = - 8. Der Schnittpunkt der Geraden q und r ist der BRIANCHONPUNKT Br. Resultat Die Koordinaten von Br lauten: x = ( 8 + 12 a) / ( 10 + 3a ) ; y = - 32 / ( 10 + 3a ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Nun wird der Schnittpunkt L von 3 – 4 mit Br verbunden Die Verbindungsgerade heisst s. Auf s liegt der Schnittpunkt M = 6-1. Resultate L(0/4) Gleichung von s: (18 + 3a) x + (2 + 3 a ) y = 8 + 12 a. M als Schnittpunkt von t1 : y = 3 x – 4 mit s ; Koordinaten von M: xM = (4 + 6a) / (6 + 3a) ; yM = ( 2a – 4 ) / ( 2 + a ) °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Damit finden wir t6 = 6 als Verbindungsgerade der beiden Punkte A(a/-2) und M; Gleichung von t6: 12 a x – (4 – 3 a^2) y = 8 + 6 a ^ 2 °°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°°° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath.
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4411 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 17:21: |
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Hi allerseits Wir stellen fest: Die Gleichung der durch den laufenden Punkt A(a/-2) an die durch die fünf Tangenten bestimmten Ellipse c gelegten Tangente stimmt mit der in der Aufgabe LF 465 gegebenen Geradenschar mit a als Parameter überein. Wir sind daher nicht erstaunt, dass als Enveloppe dieser Schar die Ellipse c entsteht. Damit hat sich der Kreis, im vorliegenden Fall die Ellipse, zu unserer Genugtuung ohne Rechenfehler, geschlossen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1599 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Sonntag, den 19. September, 2004 - 21:26: |
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Hi megamath, ich hab es doch noch heute geschafft! Hier meine kleine Skizze, ich hoffe alles wird ersichtlich! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4412 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 20. September, 2004 - 09:13: |
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Hi Ferdi Du hast alle Geraden und Punkte richtig platziert und angeschrieben! Die kleine Skizze ergänzt meine Ausführungen aufs Beste, vielen Dank! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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