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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4357
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. September, 2004 - 19:21: | 
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Hi allerseits
Mit der Aufgabe LF 460 soll nochmals der Satz aus Aufgabe LF 456
mit einem numerischen Beispiel vorgeführt werden.
Gegeben ist ein Rotationskegel durch die Spitze S(8/0/4)
und den Leitkreis k in der (x,y) - Ebene; Gleichung dieses Kreises:
x ^ 2 + y ^ 2 - 16 x + 16 = 0.
Dieser Kegel wird mit der Ebene E, Gleichung
y + sqrt (3) z = 2 sqrt (3) in einer Parabel c geschnitten.
a) man ermittle die Gleichung der Projektion k´ von c auf die
(x,y)-Ebene.
b) welches ist der Parameter p der Parabel k´ ?
c) welches sind die Koordinaten des Scheitels A´ von k´ ?
d) Man weise rechnerisch nach, dass der Mittelpunkt M
des Kreises k der Brennpunkt von k´ ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1582
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. September, 2004 - 22:45: |
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Hi megamath,
also, ich habs bis jetzt so versucht:
Ich will eine Kollineation aufbauen(wie LF456):
Zentrum Z: (8/0)
Achse e: y = 2*sqrt(3)
Gegenachse u: y = 4*sqrt(3)
Wenn ich jetzt die Abbildungsgleichungen aufstelle stoße ich immer auf ein Problem:
x' = (ax + by)/(y - 4*sqrt(3))
y' = (cx + dy)/(y - 4*sqrt(3))
e = e' und Z = Z' , so kommt herraus:
a = -2*sqrt(3) , b = 0 , c = 0 , d = -2*sqrt(3)
x' = -2*sqrt(3)*x/(y - 4*sqrt(3))
y' = -2*sqtr(3)*y/(y - 4*sqrt(3))
Es gilt jetzt e = e' aber nicht Z = Z'! Setzt man aber a = -4*sqrt(3), so gilt Z = Z' aber nicht e = e'.
Aber man sieht schon u berührt k ==> es entsteht eine Parabel! Wo liegt mein Fehler? Oder sollte man anders (einfacher??) vorgehen?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4358
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 08:35: |
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Hi Ferdi
Ich zeige nun, wie ich die Aufgabe gelöst habe.
Es wird sich dabei Einiges klären, so hoffe ich!
Später dann soll die Fehlersuche in Angriff genommen werden.
Der Kegel ist, wie gesagt, ein Rotationskegel mit der Spitze S(8/0/4),
der Achse a parallel zur z-Achse und dem halben Oeffnungswinkel
alpha = 60 °.
Daraus ergibt sich der angegebene Leitkreis k in der Grundrissebene z=0
k: x ^ 2 + y ^ 2 - 16 x + 16 = 0.
Der Radius von k ist r = 4 * sqrt(3).
Die Schnittebene E ist aufrissprojizierend, d.h. sie steht zur (y,z)-Ebene
senkrecht.
Ihre Gleichung lautet, wie angegeben:
E: y + sqrt (3) z = 2 sqrt (3)
Die Parallelebene F zu E durch die Kegelspitze hat die Gleichung
F: y + sqrt (3) z = 4 sqrt (3)
F ist eine Tangentialebene des Kegels; daher schneidet F den Kegel
in einer Parabel.
Übrigens ist die erste Spur e von E die Kollineationsachse
und die erste Spur f von F die Gegenachse des Kreissystems.
Gleichung von e: y = 2 sqrt (3) , z =0
Gleichung von f: y = 4 sqrt (3) , z =0
Skizze des weiteren Vorgehens:
Man stelle mit Hilfe des Skalarprodukts gewisser Vektoren
eine Koordinatengleichung des Kegels auf und
ermittle damit und mit der Gleichung für E die
Gleichung der Projektion k´ der Schnittkurve c.
Damit ist der Weg offen zur Beantwortung der gestellten Frage.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4359
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 08:38: |
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Hi allerseits
Es folgt eine Zusatzaufgabe zur Aufgabe LF 460.
Man ermittle die Gleichung der Leitgeraden d der Parabel k´
und zeige, dass d identisch ist mit einer Gegenachse der
zentrischen Kollineation, welche k auf k´ abbildet.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1583
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 10:15: |
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Hi megamath,
diese Methode war mir ja bekannt! Sie war nur ziemlich tief vergraben!
Wir nehmen also einen laufenden Punkt P und fordern das die Vektoren SP und SM, also das Mantellinie SP und Achse SM den Winkel phi = 60° einschließen!
Also: (SP.SM)/(|SM|*|SP|) = cos(phi)
Ich erhalte:
3*(4-z)^2 = (8-x)^2 + y^2
So, der Rest folgt dann später! Jetzt muss ich in den Garten...
mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1584
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 12:58: |
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Hi megamath,
jetzt kommt der Rest:
k': y = ((8-x)^2 - 12)/(4*sqrt(3))
Man sieht direkt:
p = 2*sqrt(3)
A' ( 8 / -sqrt(3) )
Jetzt schauen wir uns den Punkt M(8/0) an. Sein Abstand zu A' ist d(A'M) = sqrt(3) = 1/2*p. Wie es sein muss, daher: M = F'!
Die Leitgerade steht senkrecht auf der Achse x = 8, und hat den Abstand d = (1/2)*p von A'!
==> y = -2*sqrt(3)
Damit bestätigt sich auch wieder der Satz über die Abstände von Zentrum und Achse zu den Gegenachsen bei der Kollineation!
Mich wundert es nur, dass mein Ansatz mit den Kollineationgleichungen nicht funktionierte!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4360
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 03. September, 2004 - 13:22: |
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Hi Ferdi
Jetzt hat alles seine Richtigkeit !
Bei Zeit und Gelegenheit versuchen wir,
den Fehler zu finden!
MfG
H.R.Moser,megamath |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4361
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 09:00: |
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Hi Ferdi
Heureka!
Ich habe den Fehler gefunden!
Empfehlung: Neubeginn!
Herstellung der Gleichungen der zentrischen Kollineation in
einem parallelverschobenen Koordinaten System;
neuer Nullpunkt im Kreismittelunkt.
M ist als Kollineationszentrum Fixpukt; versuche es so.
Die Parabelgleichung hat dann ebenfalls neue Koordinaten
und so weiter und so fort; probiere es einmal.
Bei mir hat´s geklappt.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4362
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 14:07: |
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Hi allerseits
Wenn man die Gleichung des Kegels benützt, erhält man
für die Projektion k´ des Schnittkurve c der Ebene E mit dem Kegel
die Parabelgleichung bezüglich des alten
(x,y) - Koordinatensystems :
x ^ 2 – 4 sqrt(3) y – 16 x + 52 = 0.
Nach erfolgter Koordinatentransformation
x = u + 8, y = v wird daraus:
u ^ 2 – 4 sqrt(3) v – 12 = 0
Im gleichen (u,v) –System ermitteln wir die Abbildungsgleichungen
der zentralen Kollineation, welche den
Kreis k mit der Gleichung U^2 + V^2 = 48 in die
Parabel k´ überführt.
Wir finden leicht:
u = [ - 2 sqrt(3) / (V – 4 sqrt(3)) ] U
v = [ - 2 sqrt(3) / (V – 4 sqrt(3)) ] V
U = [ 4 sqrt(3) / (v + 2 sqrt(3) ] u
V = [ 4 sqrt(3) / (v + 2 sqrt(3) ] v
Setzt man in den vorstehenden Gleichungen die Nenner null,
so erkennt man die Gleichungen der beiden Gegenachsen
der Kollineation.
Man transformiere nun zum kröneneden Abschluss die
Kreisgleichung U^2 + V^2 = 48 !
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1586
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 04. September, 2004 - 14:18: |
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Hi megamath,
es hat funktioniert!
Die Abbildungsgleichungen lauten im verschobenen System:
x' = -2*sqrt(3)*X / (Y-4*sqrt(3))
y' = -2*sqrt(3)*Y / (Y-4*sqrt(3))
X = 4*sqrt(3)*x'/(y'+2*sqrt(3))
Y = 4*sqrt(3)*y'/(y'+2*sqrt(3))
Setzt man letztere in
X^2 + Y^2 = 48 ein so kommt:
48x'^2 + 48y'^2 = 48*(y'+2*sqrt(3))
y = x^2/4*sqrt(3) - sqrt(3)
Voila alles wie gehabt!
mfg |
