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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4346
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. August, 2004 - 18:15: | 
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Hi allerseits
Die in der Aufgabe LF 457 eingeführte
perspektive Kollineation bildet den gegebenen Kreis k
mit der Gleichung X^2 + Y^2 = 1 auf einen Kegelschnitt k´
ab.
Aufgabe LF 458
Man berechne.
a) die Gleichung von k´
b) den Parameter p von k´
c) die numerische Exzentrizität epsilon von k´.
Der Schluss der Aufgabe folgt als Aufgabe LF 459
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1575
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 30. August, 2004 - 22:33: |
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Hi megamath,
zu a)
Man setze für X und Y die Abbildungsgleichungen ein, multipliziere mit (h - y)^2, klammere (h - 1)^2 aus, und:
(h - 1)^2 * (x^2 + y^2) = (h - y)^2
Für b) und c) denke ich mal das man benutzen kann/muss das das Zentrum mit dem Mittelpunkt des Kreises zusammenfältt, das Bild also ein Brennpnukt von k' ist...ich sehe bisher nur noch nicht wie??
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4349
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 07:19: |
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Hi Ferdi
Dieser Teil der Aufgabe ist der schwierigste.
Auf die erlösende und lösende Idee (Scheitelgleichung der KS)
werde ich im Laufe des heutigen Tages näher eingehen.
Jedenfalls soll von der Tatsache, dass Z=O der Brennpunkt des KS ist,
nicht benützt, sondern gerade nachgewiesen werden.
Bis dann.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4351
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 09:17: |
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Hi Ferdi
Du hast die Gleichung des Kegelschnitts in x,y richtig
angeschrieben.
Sie lautet (pro memoria):
(h-1)^2 * x^2 + (h-1)^2 * y^2 – (h-y)^2 = 0
oder:
(h-1)^2 * x^2 + h (h - 2) * y^2 + 2 h y – h^2 = 0
Wir erkennen die Symmetrie des Kegelschnitts bezüglich der y-Achse
und gehen nun auf die Suche nach einem Scheitel S des Kurve k´.
Um einen solchen zu finden, setzen wir x = 0 und lösen die Gleichung
nach y auf.
Das Resultat ist beglückend; wir wählen die von h unabhängige Lösung
y = yS = 1 (dieser Wert war zu erwarten, warum ?).
Nun bewerkstelligen wir mit den Transformationsgleichungen
x = u ,y = v + 1
eine Parallelverschiebung des Koordinatensystems;
S wird neuer Nullpunkt!
Die transformierte Gleichung besitzt keine von u und v
unabhängige Glieder und lautet:
(h – 1)^2 * u^2 + h*(h - 2) * v^2 + 2 h (h - 1) * v = 0
Vergleicht man diese Gleichung mit der entsprechenden
allgemeinen Scheitelgleichung eines Kegelschnitts,
so lassen sich p und epsilon leicht ermitteln.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1576
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 10:50: |
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Hi megamath,
eine geniale Idee mit der Verschiebung!
mir schwebt da noch sowas im Kopf(bei Symetrie zur x-Achse):
y^2 = 2p*x - (1 - eps^2)*x^2
Hier wäre das (Symetrie zur y-Achse):
u^2 = 2*(-h/(h-1))*v - ((h^2-2h)/(h-1)^2)*v^2
Nun noch: (h^2-2h)/(h-1)^2 = 1 - 1/(h-1)^2
p = -h/(h-1) = h/(1-h)
eps = 1/(h-1)
Warum jedoch als Scheitel ein von h unabhängiger Wert erscheint sehe ich nicht!
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4352
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 14:05: |
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Hi Ferdi
Deine Lösung für den Parameter p ist richtig; es gilt:
p = h / (h-1); meistens nimmt man für p den
Absolutbetrag, insbesondere dann, wenn man den
bekannten Satz über die Rolle des Quermaßes für p benützt.
Dieser Satz lautet:
Für den Kegelschnitt KS, der durch die Scheitelgleichung
y^2 = 2 p x – (1 – eps^2) * x^2 gegeben ist. gilt:
Die Ordinate (y-Wert) des Kurvenpunktes Q
im 1.Quadrant,dessen Abszisse (x-Wert)
mit der linearen Exzentrizität e übereinstimmt,
ist gerade gleich dem Parameter p;
p ist somit die halbe Breite (Quermaß) des KS
beim Brennpunkt F(e/0).
Bei der Lösung der folgenden Aufgabe LF 459
kann von diesem Satz Gebrauch gemacht werden!
Bravo:
Für eps habe ich denselben Wert,
abgesehen von Absolutstrichen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4353
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 14:13: |
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Hi Ferdi
Zu Deiner letzten Frage:´
Beachte:
der Punkt E mit X= 0, Y=1 liegt auf dem Kreis k
und zugleich auf der Kollineationsachse e (für alle Werte von h).
E ist Fixpunkt und alle KS gehen durch E = E´(0/1).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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