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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4350
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 08:21: | 
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Hi allerseits
Der in der vorhergehenden Aufgabe hergeleitete Kegelschnitt k´
soll in dieser Aufgabe LF 459 weiter analysiert werden.
a) Man beweise: das Kollineationszentrum Z ist ein Brennpunkt von k´.
b) Welches ist die Leitgerade von k´, welche dem Brennpunkt Z zugeordnet ist?
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1577
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 12:32: |
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Hi megamath,
mir ist bis jetzt kein Beweis zu a) gelungen.
Ich habe schon mehrere Sachen probiert:
Abstand von O und Mittelpunkt M von k' = e (lineare Exzentrizität)
Verschieben von M zu O damit alle linearen Glieder entfallen
Aber nichts bringt mich zum Ziel. Bin ich auf dem richtigen Weg, oder hast du noch einen in Petto?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4354
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 14:26: |
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Hi Ferdi
Du kannst die Teilaufgabe a) lösen, indem Du das in meiner
letzten Arbeit zu LF 458 erwähnte Quermass q berechnest und zeigst
dass dieses mit dem, Parameter p übereinstimmt.
Auch die Berechnungen mit der linearen Exzentriziät e führen zum Ziel.
Für e findet man: e = 1 / abs(2-h).
Dies stimmt mit der Länge der Strecke MO überein
(für h nicht 2 ist M der Mittelpunkkt des KS).
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1578
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 31. August, 2004 - 22:56: |
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Hi megamath,
so eine kleine Aufgabe aber oho , und ich bekomms nicht gebacken.
Den Mittelpunkt hatte ich auch. Und den Abstand OM dann auch. Mein Problem liegt hier wohl da begründet, das man nicht weiß welcher Kegelschnitt vorliegt...
Auch das Quermass bringt mich nicht zum Ziel. Wir müssen den Satz hier ja etwas umformen:
Wir suchen den Punkt dessen y-Koordinaten gleich e ist, dann muss sein x-Wert gleich p sein. Setze ich aber für v den Wert e ein und löse nach u auf, so erhalte ich nicht p.
Naja, jetzt bin ich auch etwas "angefressen", deshalb gehe ich jetzt erst mal schlafen!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4355
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 14:30: |
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Hi Ferdi
Das geht ganz einfach.
Schneide die Kurve, deren Gleichung in der Lösung zu Aufgabe LF 458 steht,
mit der x-Achse und Du erhältst für die Abszisse x des Schnittpunktes die
Gleichung
x^2 = h^2 / (h - 1)^2; x^2 stimmt mit p^2 überein!
Pro memoria:
die genannte Gleichung des KS lautet in meiner Schlussversion:
(h-1)^2 * x^2 + h (h - 2) * y^2 + 2 h y – h^2 = 0 .
Später werde ich auch eine Lösung der Teilaufgabe b) zeigen.
Mit der Aufgabe LF 460, die morgen erscheint, komme ich an einem
einfacheren Beispiel auf einen Teilaspekt unsere Themas zurück,
auf den ebenen Schnitt eines Rotationskegels nach einer Parabel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4356
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 01. September, 2004 - 20:05: |
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Hi Ferdi
Ich habe Verständnis dafür, dass die Teilaufgabe b) nicht auf
Anhieb gelöst werden kann.
Zur Lösung braucht es einen wenig bekannten Hilfssatz
über die Lage der dem Brennpunkt F zugeordneten Leitgeraden l .
Er lautet:
Für den Kegelschnitt mit dem Scheitel im Nullpunkt O,
entsprechende Scheitelgleichung
y^2 = 2 p x – ( 1 – eps^2 ) x^2
sei F(f / 0) der Brennpunkt und L der Schnittpunkt der zugeordneten
Leitgeraden l mit der x – Achse; es gilt dann:
die Gleichung von l lautet: x = - f / eps mit f = p / (eps + 1).
Für die Parabel y^2 = 2 p x gibt das mit eps = 1:
f = ½ * p und LO = ½ * p, wie allgemein bekannt sein dürfte.
In unserem Fall wird f = 1 und die Gleichung der Leitgeraden
ist y = 1 – h
(aufpassen auf die vertauschten Rollen von x und y).
Die Leitgerade fällt mit der zweiten Gegenachse zusammen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1580
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 02. September, 2004 - 16:56: |
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Hi megamath,
mir scheint es, als gibt es unendlich viele Sätze und Hilfssätze über Kegelschnitte...
Meine Sammlung umfasst wohl nur einen Bruchteil davon! Danke für diesen hier!
mfg |
