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Determinante n-ter Ordnung

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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1544
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 16:36:   Beitrag drucken

Hi,

im Sommerloch fiel mir folgende Aufgabe in den Schoss, bis jetzt konnte ich sie nicht lösen! Ich hoffe ihr könnt mit Tipps geben:

Sei M € R^n:

1a00...00
a1a00...0
0a1a0...0
.......
00000...a


Man berechne det(M(n)).

Zu beginn gehts noch:
det(M(1)) = 1
det(M(2)) = 1 - a^2
det(M(3)) = 1 - 2a^2


Rekursiv gehts wohl so:

det(M(n)) = det(M(n-1)) - a^2*det(M(n-2))

Aber dann...man könnte sich ja totrechnen um eine explizite Formel zu finden, aber ich finde keine Regelmäßigkeit! Da gibts bestimmt nen Trick! Wo liegt dieser??

mfg
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 877
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 17:23:   Beitrag drucken

ich würd mal sagen, daß die Ecke rechts unten nicht a sondern 1 ist;

als erstes:

man subtrahiere das a fache der Zeile (k-1) von k, beginnend mit k = n, bis k = 2

dann wird aus

1a000000
a1a00000
0a1a0000
00a1a000
000a1a00
0000a1a0
00000a1a
000000a1

1a000000
0xa00000
00xa0000
000xa000
0000xa00
00000xa0
000000xa
0000000x

mit x = 1-a^2

das ist jetzt eine obere Dreiecksmatrix => det(M(n)) = (1-a^2)^(n-1)

Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1459
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 17:45:   Beitrag drucken

Hallo

Ich denke bei der Lösung ist ein Fehler drin. Wenn ich mal den ersten Schritt mache, dann wird aus
1a000000
a1a00000
0a1a0000
00a1a000
000a1a00
0000a1a0
00000a1a
000000a1
=>
1a000000
a1a00000
0a1a0000
00a1a000
000a1a00
0000a1a0
00000a1a
00000y0x
Mit x=1-a^2 und y=-a^2. Also keine obere Dreiecksmatrix. Trotzdem würde ich hier auch versuchen irgendwie eine solche Matrix zu erhalten.

MfG
Christian

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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1460
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 19:24:   Beitrag drucken

Hallo Ferdi

Bin bei der Berechnung einer oberen Dreiecksmatrix leider auch nur zu einer rekursiven Formel gekommen...

Hab dann mal ein paar Werte für die Determinante ausgerechnet. Wenn man die untereinander schreibt sieht man schon eine große Ähnlichkeit zum Pascalschen Dreieck.
Durch "scharfes Hinsehen" komme ich jetzt zu folgender Formel:

det(M(n))=Sn k=0 [n-k ; k] (-1)k*a2k

Das in den eckigen Klammern soll der Binomialkoeffizient sein.

Ich denke mal die Formel lässt sich mit deiner rekursionsformel verifizieren.

MfG
Christian
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Christian_s (Christian_s)
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Benutzername: Christian_s

Nummer des Beitrags: 1461
Registriert: 02-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 19:48:   Beitrag drucken

Hier dann noch ein Beweis der obigen Vermutung.

Offenbar stimmt die Formel für n=1 und n=2. Wir setzen die Formel einfach mal in die rechte Seite der Rekursionsformel ein. Dann gilt:

det(M(n-1))-a2*det(M(n-2))
=Sn-1 k=0 [n-1-k;k](-1)ka2k-a2Sn-2 k=0 [n-2-k;k](-1)ka2k
=Sn-1 k=0 [n-1-k;k](-1)ka2k-Sn-2 k=0 [n-2-k;k](-1)ka2k+2
=Sn-1 k=0 [n-1-k;k](-1)ka2k+Sn-1 k=1 [n-1-k;k-1](-1)ka2k
=1+Sn-1 k=1 ([n-1-k;k]+[n-1-k;k-1])(-1)ka2k
=1+Sn-1 k=1 [n-k;k](-1)ka2k
=Sn k=0 [n-k;k](-1)ka2k=det(M(n))

q.e.d.

MfG
Christian
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1545
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 20:19:   Beitrag drucken

Hi,

ihr habt tatsächlich Recht! Im letzten Kästchen steht eine 1!

Besten Dnk für deine Lösung Christian!

Nun ja, ich wollte mich eigentlich nicht mit einer rekursiven Darstellung zufrieden geben...mal sehen, morgen auf der Arbeit habe ich wieder Zugriff auf eine größere mathematische Literatursammlung. In der Pause werde ich dort mal wieder stöbern...

Wenn trotzdem jemand noch eine Idee hat...immer her damit!

mfg
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Mainziman (Mainziman)
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Benutzername: Mainziman

Nummer des Beitrags: 878
Registriert: 05-2002
Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 21:46:   Beitrag drucken

Hab doch glatt was übersehen, wäre zu schön gewesen :-)

nocheinmal

aus

1a000000
a1a00000
0a1a0000
00a1a000
000a1a00
0000a1a0
00000a1a
000000a1

wird durch subtraktion des a fachen der ersten zeile von der 2ten zeile:

1a000000
0xa00000
0a1a0000
00a1a000
000a1a00
0000a1a0
00000a1a
000000a1

mit x = 1-a^2

durch subtraktion des a/x fachen von zeile 2 von zeile 3 wird daraus

1a000000
0xa00000
00ya0000
00a1a000
000a1a00
0000a1a0
00000a1a
000000a1

mit y = a^2/x - a = a^2/(1-a^2) - a = (a^2 + a - a^3)/(1-a^2) <-- das wird immer ärger; Mensch Ferdi, was ist Dir da eingefallen *gg*

Gruß,
Walter
Mainzi Man,
ein Mainzelmännchen-Export,
das gerne weiterhilft
oder auch verwirren kann *ggg*
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Orion (Orion)
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Nummer des Beitrags: 903
Registriert: 11-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 08:09:   Beitrag drucken

Hallo,

mit D(n) := det(M(n)) haben wir (s.o) :

(*) D(n+2) = D(n+1) - a2D(n), n = 0,1,2,....

Wir setzen willkürlich D(0) := 1 , ferner ist D(1) = 1,
damit wird richtig : D(2) = 1 - a2, D(3) = 1-2a2,...
(*) behandeln wir als gewöhnliche Differenzengleichung 2. Ordnung : Mit

l1,2 := (1±sqrt(1-4a2))/2 ,

D := sqrt(1-4a2)

erhält man so

D(n) =

(l1n+1 - l2n+1)/D






mfG Orion
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4311
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 08:42:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die ersehnten erlösenden Zeilen sind erschienen; besten Dank an Orion!
Die von Ferdi ausgegrabene Aufgabe ist in Varianten in einigen Vorlesungen
und in Standardwerken über Determinanten zu finden.
So auch im Göschen Band Nr. 402 von Paul B. Fischer, Berlin 1944.
In diesem lesenswerten Bändchen sind weitere Rosinen aus dem Bereich
der Determinantenlehre zu finden.
Ich werde zu gegebener Zeit eine Kostprobe daraus in eine
LF Aufgabe aufnehmen.

Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1549
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 21:30:   Beitrag drucken

Hi,

besten Dank an Orion für seine geniale Lösung!

Mich wundert es, wie einem DGL's doch in den verschiedensten Sparten der Mathematik helfen!

Erst vor kurzem haben wir hier den Wert einer Reihe mit Hilfe einer DGL lösen können! Siehe:

http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/358547.html

mfg

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