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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1544 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 16:36: |
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Hi, im Sommerloch fiel mir folgende Aufgabe in den Schoss, bis jetzt konnte ich sie nicht lösen! Ich hoffe ihr könnt mit Tipps geben: Sei M € R^n:
1 | a | 0 | 0 | ... | 0 | 0 | a | 1 | a | 0 | 0 | ... | 0 | 0 | a | 1 | a | 0 | ... | 0 | . | . | . | . | . | . | . | 0 | 0 | 0 | 0 | 0 | ... | a | Man berechne det(M(n)). Zu beginn gehts noch: det(M(1)) = 1 det(M(2)) = 1 - a^2 det(M(3)) = 1 - 2a^2 Rekursiv gehts wohl so: det(M(n)) = det(M(n-1)) - a^2*det(M(n-2)) Aber dann...man könnte sich ja totrechnen um eine explizite Formel zu finden, aber ich finde keine Regelmäßigkeit! Da gibts bestimmt nen Trick! Wo liegt dieser?? mfg |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 877 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 17:23: |
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ich würd mal sagen, daß die Ecke rechts unten nicht a sondern 1 ist; als erstes: man subtrahiere das a fache der Zeile (k-1) von k, beginnend mit k = n, bis k = 2 dann wird aus 1a000000 a1a00000 0a1a0000 00a1a000 000a1a00 0000a1a0 00000a1a 000000a1 1a000000 0xa00000 00xa0000 000xa000 0000xa00 00000xa0 000000xa 0000000x mit x = 1-a^2 das ist jetzt eine obere Dreiecksmatrix => det(M(n)) = (1-a^2)^(n-1)
Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1459 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 17:45: |
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Hallo Ich denke bei der Lösung ist ein Fehler drin. Wenn ich mal den ersten Schritt mache, dann wird aus 1a000000 a1a00000 0a1a0000 00a1a000 000a1a00 0000a1a0 00000a1a 000000a1 => 1a000000 a1a00000 0a1a0000 00a1a000 000a1a00 0000a1a0 00000a1a 00000y0x Mit x=1-a^2 und y=-a^2. Also keine obere Dreiecksmatrix. Trotzdem würde ich hier auch versuchen irgendwie eine solche Matrix zu erhalten. MfG Christian
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1460 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 19:24: |
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Hallo Ferdi Bin bei der Berechnung einer oberen Dreiecksmatrix leider auch nur zu einer rekursiven Formel gekommen... Hab dann mal ein paar Werte für die Determinante ausgerechnet. Wenn man die untereinander schreibt sieht man schon eine große Ähnlichkeit zum Pascalschen Dreieck. Durch "scharfes Hinsehen" komme ich jetzt zu folgender Formel: det(M(n))=Sn k=0 [n-k ; k] (-1)k*a2k Das in den eckigen Klammern soll der Binomialkoeffizient sein. Ich denke mal die Formel lässt sich mit deiner rekursionsformel verifizieren. MfG Christian
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Christian_s (Christian_s)
Senior Mitglied Benutzername: Christian_s
Nummer des Beitrags: 1461 Registriert: 02-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 19:48: |
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Hier dann noch ein Beweis der obigen Vermutung. Offenbar stimmt die Formel für n=1 und n=2. Wir setzen die Formel einfach mal in die rechte Seite der Rekursionsformel ein. Dann gilt: det(M(n-1))-a2*det(M(n-2)) =Sn-1 k=0 [n-1-k;k](-1)ka2k-a2Sn-2 k=0 [n-2-k;k](-1)ka2k =Sn-1 k=0 [n-1-k;k](-1)ka2k-Sn-2 k=0 [n-2-k;k](-1)ka2k+2 =Sn-1 k=0 [n-1-k;k](-1)ka2k+Sn-1 k=1 [n-1-k;k-1](-1)ka2k =1+Sn-1 k=1 ([n-1-k;k]+[n-1-k;k-1])(-1)ka2k =1+Sn-1 k=1 [n-k;k](-1)ka2k =Sn k=0 [n-k;k](-1)ka2k=det(M(n)) q.e.d. MfG Christian |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1545 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 20:19: |
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Hi, ihr habt tatsächlich Recht! Im letzten Kästchen steht eine 1! Besten Dnk für deine Lösung Christian! Nun ja, ich wollte mich eigentlich nicht mit einer rekursiven Darstellung zufrieden geben...mal sehen, morgen auf der Arbeit habe ich wieder Zugriff auf eine größere mathematische Literatursammlung. In der Pause werde ich dort mal wieder stöbern... Wenn trotzdem jemand noch eine Idee hat...immer her damit! mfg |
Mainziman (Mainziman)
Senior Mitglied Benutzername: Mainziman
Nummer des Beitrags: 878 Registriert: 05-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 16. August, 2004 - 21:46: |
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Hab doch glatt was übersehen, wäre zu schön gewesen nocheinmal aus 1a000000 a1a00000 0a1a0000 00a1a000 000a1a00 0000a1a0 00000a1a 000000a1 wird durch subtraktion des a fachen der ersten zeile von der 2ten zeile: 1a000000 0xa00000 0a1a0000 00a1a000 000a1a00 0000a1a0 00000a1a 000000a1 mit x = 1-a^2 durch subtraktion des a/x fachen von zeile 2 von zeile 3 wird daraus 1a000000 0xa00000 00ya0000 00a1a000 000a1a00 0000a1a0 00000a1a 000000a1 mit y = a^2/x - a = a^2/(1-a^2) - a = (a^2 + a - a^3)/(1-a^2) <-- das wird immer ärger; Mensch Ferdi, was ist Dir da eingefallen *gg* Gruß, Walter Mainzi Man, ein Mainzelmännchen-Export, das gerne weiterhilft oder auch verwirren kann *ggg*
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Orion (Orion)
Senior Mitglied Benutzername: Orion
Nummer des Beitrags: 903 Registriert: 11-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 08:09: |
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Hallo, mit D(n) := det(M(n)) haben wir (s.o) : (*) D(n+2) = D(n+1) - a2D(n), n = 0,1,2,.... Wir setzen willkürlich D(0) := 1 , ferner ist D(1) = 1, damit wird richtig : D(2) = 1 - a2, D(3) = 1-2a2,... (*) behandeln wir als gewöhnliche Differenzengleichung 2. Ordnung : Mit l1,2 := (1±sqrt(1-4a2))/2 , D := sqrt(1-4a2) erhält man so D(n) = (l1n+1 - l2n+1)/D
mfG Orion
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4311 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 08:42: |
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Hi allerseits Die ersehnten erlösenden Zeilen sind erschienen; besten Dank an Orion! Die von Ferdi ausgegrabene Aufgabe ist in Varianten in einigen Vorlesungen und in Standardwerken über Determinanten zu finden. So auch im Göschen Band Nr. 402 von Paul B. Fischer, Berlin 1944. In diesem lesenswerten Bändchen sind weitere Rosinen aus dem Bereich der Determinantenlehre zu finden. Ich werde zu gegebener Zeit eine Kostprobe daraus in eine LF Aufgabe aufnehmen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1549 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 17. August, 2004 - 21:30: |
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Hi, besten Dank an Orion für seine geniale Lösung! Mich wundert es, wie einem DGL's doch in den verschiedensten Sparten der Mathematik helfen! Erst vor kurzem haben wir hier den Wert einer Reihe mit Hilfe einer DGL lösen können! Siehe: http://www.mathehotline.de/mathe4u/hausaufgaben/messages/4244/358547.html mfg |