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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4279
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 11:52: | 
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Hi allerseits
Die Aufgabe LF 446 erscheint als Einlage und ist
rasch gelöst!
Sie lautet:
Es gibt zwei Werte für die Konstante B, so dass die nachstehende
Gleichung zweiten Grades in x , y ein Geradenpaar darstellt.
Die Gleichung lautet:
2 x^2+ 2 B x y + y^2 + x + y – 6 = 0
Man ermittle B und die entsprechenden Geradengleichungen.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1518
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 12:30: |
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Hi megamath,
sind die gesuchten Werte:
b = -3/2 bzw b = 17/12 ??
Ich erhalte sie durch nullsetzen einer Determinante! Wenn ja dann mehr heute abend. Jetzt muss ich zur Arbeit!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4280
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 13:54: |
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Hi Ferdi
Deine Angaben sind richtig,bravo und Dank!
Da der von Dir vorgeschlagene konventionelle Lösungsweg
leider wenig bekannt ist, wäre eine Vorführung en détail
sehr erwünscht.
Ich zeige später einen weniger konventionellen Lösungsweg,
der es in sich hat!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4281
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 16:16: |
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Hi Ferdi
Eine famose Lösung der Aufgabe geht so:
Man ermittle den Mittelpunkt M des Kegelschnitts.
Mit den bewährten Methoden erhalten wir
für das numerische Beispiel:
xM= ½ (B - 1) / (2 - B^2)
yM = ½ (B -2) / (2 - B^2)
Wenn der KS degeneriert sein soll, muss M auf dem KS liegen,
d.h. die Koordinaten xM und yM von M befriedigen die
Gleichung.
Wiederum erhalten wir die quadratische Gleichung für B
24 B^2 + 2 B – 51 = 0
mit den Lösungen B1= 17/12 und B2 = -3/2.
Diese Werte garantieren, dass der entartete KS jeweils
eine auf die Asymptoten reduzierte Hyperbel ist.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1520
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 22:31: |
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Hi megamath,
hier mein Lösungsweg:
Wir betrachten die bekannte Determinante des Kegelschnittes Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 :
d : AC - B^2
d : 2 - B^2
Nun betrachten wir die 3,3 Matrix M:
Also in unserem Fall:
| 2 | B | 1/2 | | B | 1 | 1/2 | | 1/2 | 1/2 | -6 |
Die Determinante dieser Matrix gibt Auskunft ob dieser Kegelschnitt "normal" oder "eigentlich" ist, dann ist det(M) ungleich 0! Ist det(M) = 0 , so zerfällt der Kegelschnitt!
Berechnen wir die det(M):
det(M) = 6B^2 + B/2 - 51/4
Diese setzen wir 0 und berechnen daraus B!
==> B = -3/2 bzw B = 17/12
Mit diesen B's wird unsere Determinante d immer kleiner 0, wir haben also beidemale ausgeartete Hyperbeln!
Jetzt berechnen wir die Geradengleichungen:
Die Steigungen erhalten wir, wie bekannt:
KS durch x^2 dividieren, dann x ad infinitum laufen lassen, dann wir y/x zur Steigung m der Asymptoten:
m^2 + 2Bm + 2 = 0
m = -B +- sqrt(B^2-2)
d.h.: B = -3/2 : m1 = 1 und m2 = 2
d.h.: B = 17/12 : m1 = -4/3 und m2 = -3/2
Den Mittelpunkt hattest du ja schon berechnet! Die Geraden verlaufen je durch diesen, wir haben:
B = -3/2 : M ( 5 / 7 )
B = 17/12 : M ( -30 / 40 )
damit haben wir:
y = x + 2
y = 2x - 3
und
y = -4/3*x + 2
y = -3/2*x - 3
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4283
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 10:54: |
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Hi Ferdi
Besten Dank für Deine ausführliche Lösung.
Die Faktorzerlegung kann Miss Marple auch, wie figura zeigt:
F:=2*x^2-3*x*y+y^2+x+y-6;
factor(F);
(2 x - y - 3) (x - y + 2)
G:=2*x^2+17/6*x*y+y^2+x+y-6;
factor(G);
1/6 (4 x + 3 y - 6) (3 x + 2 y + 6)
MfG
H.R.Moser,megamath
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