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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4279 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 11:52: |
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Hi allerseits Die Aufgabe LF 446 erscheint als Einlage und ist rasch gelöst! Sie lautet: Es gibt zwei Werte für die Konstante B, so dass die nachstehende Gleichung zweiten Grades in x , y ein Geradenpaar darstellt. Die Gleichung lautet: 2 x^2+ 2 B x y + y^2 + x + y – 6 = 0 Man ermittle B und die entsprechenden Geradengleichungen. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1518 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 12:30: |
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Hi megamath, sind die gesuchten Werte: b = -3/2 bzw b = 17/12 ?? Ich erhalte sie durch nullsetzen einer Determinante! Wenn ja dann mehr heute abend. Jetzt muss ich zur Arbeit! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4280 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 13:54: |
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Hi Ferdi Deine Angaben sind richtig,bravo und Dank! Da der von Dir vorgeschlagene konventionelle Lösungsweg leider wenig bekannt ist, wäre eine Vorführung en détail sehr erwünscht. Ich zeige später einen weniger konventionellen Lösungsweg, der es in sich hat! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4281 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 16:16: |
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Hi Ferdi Eine famose Lösung der Aufgabe geht so: Man ermittle den Mittelpunkt M des Kegelschnitts. Mit den bewährten Methoden erhalten wir für das numerische Beispiel: xM= ½ (B - 1) / (2 - B^2) yM = ½ (B -2) / (2 - B^2) Wenn der KS degeneriert sein soll, muss M auf dem KS liegen, d.h. die Koordinaten xM und yM von M befriedigen die Gleichung. Wiederum erhalten wir die quadratische Gleichung für B 24 B^2 + 2 B – 51 = 0 mit den Lösungen B1= 17/12 und B2 = -3/2. Diese Werte garantieren, dass der entartete KS jeweils eine auf die Asymptoten reduzierte Hyperbel ist. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1520 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 15. Juli, 2004 - 22:31: |
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Hi megamath, hier mein Lösungsweg: Wir betrachten die bekannte Determinante des Kegelschnittes Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + 2Dx + 2Ey + F = 0 : d : AC - B^2 d : 2 - B^2 Nun betrachten wir die 3,3 Matrix M: Also in unserem Fall:
2 | B | 1/2 | B | 1 | 1/2 | 1/2 | 1/2 | -6 | Die Determinante dieser Matrix gibt Auskunft ob dieser Kegelschnitt "normal" oder "eigentlich" ist, dann ist det(M) ungleich 0! Ist det(M) = 0 , so zerfällt der Kegelschnitt! Berechnen wir die det(M): det(M) = 6B^2 + B/2 - 51/4 Diese setzen wir 0 und berechnen daraus B! ==> B = -3/2 bzw B = 17/12 Mit diesen B's wird unsere Determinante d immer kleiner 0, wir haben also beidemale ausgeartete Hyperbeln! Jetzt berechnen wir die Geradengleichungen: Die Steigungen erhalten wir, wie bekannt: KS durch x^2 dividieren, dann x ad infinitum laufen lassen, dann wir y/x zur Steigung m der Asymptoten: m^2 + 2Bm + 2 = 0 m = -B +- sqrt(B^2-2) d.h.: B = -3/2 : m1 = 1 und m2 = 2 d.h.: B = 17/12 : m1 = -4/3 und m2 = -3/2 Den Mittelpunkt hattest du ja schon berechnet! Die Geraden verlaufen je durch diesen, wir haben: B = -3/2 : M ( 5 / 7 ) B = 17/12 : M ( -30 / 40 ) damit haben wir: y = x + 2 y = 2x - 3 und y = -4/3*x + 2 y = -3/2*x - 3 mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4283 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 16. Juli, 2004 - 10:54: |
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Hi Ferdi Besten Dank für Deine ausführliche Lösung. Die Faktorzerlegung kann Miss Marple auch, wie figura zeigt: F:=2*x^2-3*x*y+y^2+x+y-6; factor(F); (2 x - y - 3) (x - y + 2) G:=2*x^2+17/6*x*y+y^2+x+y-6; factor(G); 1/6 (4 x + 3 y - 6) (3 x + 2 y + 6) MfG H.R.Moser,megamath
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