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beschränkte Mengen und stetige Abbild...

ZahlReich - Mathematik Hausaufgabenhilfe » Universitäts-Niveau » Analysis » Stetigkeit » beschränkte Mengen und stetige Abbildungen « Zurück Vor »

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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1144
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:04:   Beitrag drucken

Hallo,

Seien (X,dX),(Y,dY) metr. Räume
f: X->Y

folgende Liste von Behauptunden soll untersucht werden.

a) Ist f stetig, so bildet f beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab.
b) Ist f Cauchy- Folgen Treu, so bildet f beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab.
c) Ist f gleichmäßig stetig, so bildet f beschränkte Mengen, auf beschränkte Mengen ab.
d) Ist f lipschitz stetig, so bildet f beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab.
e) Ist f Hölder stetig, so bildet f beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab.

Lösung:

a) ist falsch, aber ein "gutes" gegenbeispiel fällt mir dazu nicht ein...
b) ist auch falsch, wurde vor Urzeiten hier im Board geklärt; braucht nicht bearbeitet werden.
d)richtig, da lipschitz stetige Abbildungen gleichmäßig stetig sind.
e) richtig, da Hölderstetige Abbildungen gleichmäßig stetig sind.

Beweis c)

Vor:

(X,dX),(Y,dY) metr. Räume
A Teilmenge X; A beschränkt; f: X->Y gleichmäßig stetig.

Beh: f(A) beschränkt.
Bew:

(Beweis durch Wiederspruch)

Annahme: f(A) nicht beschränkt. O.B.d.A. A nicht nach oben beschränkt.

k>0 sei vorgegeben.Konstruiere induktiv Folge
(an)aus AIN mit dY(f(an+1),f(an))>k

Also dY(f(a_m),f(a_n))>k f.a. n ungleich m.

Nun ist f gleichmäßig stetig.D.h.
f.a. e >0 existiert ein d>0
f.a. x,y aus X. gilt:
dX(x,y)<d=>dY(f(x),f(y))<e

setze: e:=k; finde auf Grund der gleichmäßigen stetigkeit von f ein d>0 so, dass dX(am,an)>d f.a. n ungleich m.

Da A Teilmenge X beschränkt, reichen endlich viele d- Intervalle um A zu überdecken.
Es müsste also 2 verschiedene an,am aus AIN geben, dessen Abstand kleiner wär als d. WIEDERSPRUCH!

ist der Beweis so Ok, oder nicht???

Gruß N.

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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 934
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:17:   Beitrag drucken

Zwei spontane Anmerkungen:

(1) Warum nimmst Du bei a) nicht einfach die Tangens-Funktion? Sie ist stetig und bildet ]0;p/2[ auf ]0,¥[ ab.

(2) f(an+1)>f(an)+k würde eine Anordnung voraussetzen.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1145
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:42:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

a) stimmt, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht...

b) stimmt, auch da wird eine Ordnung verlangt. Wie müsste ich ohne Ordnung argumentieren? (Ich habe versucht den Beweis vom Fall "X=Y=IR übertragen, da gibt es natürlich eine Ordnung...)

Wie könnte man den Beweis abändern, oder müsste man ihn ganz neu und anders führen?


Gruß N.
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 936
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:57:   Beitrag drucken

Ändere einfach deine Konstruktion indem Du sie auf beliebige metrische Räume überträgst.

d(an+1,an)>k

Im reellen ist die übliche Metrik ja gerade d(x,y)=|x-y|

Der Rest sollte ok sein denke ich.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1146
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 14:12:   Beitrag drucken

Hi Ingo, da du moderator bist kannst du ja in meinen Beitrag "korrigierent" eingreifen.

ersetze einfach an der Stelle

f(an+1)>f(an)+k

durch

dX(an+1,an)>k

dann müsste alles in der Tat denke ich so stimmen. Und ich brauche nicht den ganzen Text nochmal kopieren, einfügen etc...

könntest du das bitte machen?

Gruß N.
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 937
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 16:42:   Beitrag drucken

Erledigt.
Allerdings solltest Du normalerweise deine eigenen Beiträge auch editieren können, indem Du den Notizzettel oben rechts anklickst.
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1508
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 16:59:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

entschuldige wenn ich mich hier einmische, aber mir ist folgendes Aufgefallen:

Wenn ich einen Beitrag schreibe und ihn absende, so fallen mir meistens erst Stunden später noch Fehler auf, wenn ich den Beitrag dann editieren will kommt immer die Antwort:

Es sind 20 Minuten seit Absenden des Beitrages vergangen. Editieren nicht mehr möglich.

Daher muss man dann wie Niels sagt meistens einen neuen Beitrag schreiben!

mfg
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 938
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 20:29:   Beitrag drucken

Dann ist das wohl eins der Sonderrechte, die man mit einem Mod-Account hat. War bisher davon ausgegangen, daß sich das nur auf das editieren fremder Beiträge bezieht.

Da ich davon aber äußerst selten Gebrauch mache, war ich davon ausgegangen, daß man seine eigenen Beiträge immer editieren kann.


Noch mal zum Beweis: In einem anderen Beitrag wird die diskrete Metrik erwähnt, was bei mir die Frage aufgeworfen hat, ob der Beweis oben wirklich lupenrein ist. Denn die Wahl von k würde bei der diskreten Metrik ja schon deutlich eingeschränkt sein(0<k<1). Man sollte vielleicht noch einmal darüber nachdenken, ob nicht doch noch irgendwo ein Haken im Beweis steckt.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1153
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 21:13:   Beitrag drucken

Ja, an die diskrete Metrik habe ich gar nicht gedacht...

aber wie du schon sagtest, wird wohl dann nur die Wahl von k beeinflusst wird, das würde aber meiner Meinung nach dem Beweis kein Abbruch tun, aber wie gesagt, sicher bin ich mir da nicht...

Vieleicht hat ja jemand anderes einen anderen Beweis oder einen Tipp...

N.
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Ingo (Ingo)
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Moderator
Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 939
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 01:22:   Beitrag drucken

Neues Problem:
Aus dY(f(an+1),f(an))>k folgt nicht zwingend
dY(f(am),f(an))>k "n¹m

Abhilfevorschlag:
Wähle an so, daß (2n-1)k < d(f(an),f(a0))< 2kn
Wegen der angenommenen unbeschränkheit von f(A) ist das kein Problem. (Insofern ist der Einwand mit der diskreten Metrik überflüssig gewesen, da für sie ja f(A) sowieso beschränkt wäre)
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1156
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 09:52:   Beitrag drucken

Hi Ingo,

guter Vorschlag:

Mit was komme ich den dan raus?

ich wähle an so, daß

(2n-1)k < dY(f(ann),f(a0))< 2kn

Dann nehmen wir die Dreiecksungleichung und es gilt:

dY(f(am),f(an))=<dy(f(am),f(a0))+dY(f(a0),f(an))

der zweite Summand ist kleiner 2kn wegen wahl von an, was ist aber mit dem ersten summanden??

N.

(Beitrag nachträglich am 11., Juli. 2004 von Niels2 editiert)
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Ingo (Ingo)
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Benutzername: Ingo

Nummer des Beitrags: 941
Registriert: 08-1999
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 12:20:   Beitrag drucken

Du benutzt die Dreiecksungleichung in der "falschen" Form.
Die Darstellung, die Du brauchst ist
d(x,y)³d(x,z)-d(y,z)

Demzufolge ist

dY(f(am),f(an)) ³ dY(f(am),f(a0))- dY(f(an),f(a0)) > (2m-1)k - 2kn = (2(m-n)-1)k > k "m>n
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Niels2 (Niels2)
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Nummer des Beitrags: 1157
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 12:46:   Beitrag drucken

Uppps,

na denn konnte das ja nicht so funktionieren wie ich wollte, mit der anderen "Dreiecksungleichung ist es nun klar....

Gruß N.
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Niels2 (Niels2)
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Benutzername: Niels2

Nummer des Beitrags: 1189
Registriert: 06-2001
Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 07:56:   Beitrag drucken

Ich habe mir nochmal meinen Beweis durchgelesen, wieso nimmt man hier die umgehekrte Dreiecksungleichung? Der "direkte Weg" ist doch immer der kürzeste, jedenfalls kürzer als der Weg über einen 3 Punkt Z.

Oder sehe ich da mal wieder etwas vollkommen falsch?

Gruß N.

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