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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1144 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:04: |
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Hallo, Seien (X,dX),(Y,dY) metr. Räume f: X->Y folgende Liste von Behauptunden soll untersucht werden. a) Ist f stetig, so bildet f beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab. b) Ist f Cauchy- Folgen Treu, so bildet f beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab. c) Ist f gleichmäßig stetig, so bildet f beschränkte Mengen, auf beschränkte Mengen ab. d) Ist f lipschitz stetig, so bildet f beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab. e) Ist f Hölder stetig, so bildet f beschränkte Mengen auf beschränkte Mengen ab. Lösung: a) ist falsch, aber ein "gutes" gegenbeispiel fällt mir dazu nicht ein... b) ist auch falsch, wurde vor Urzeiten hier im Board geklärt; braucht nicht bearbeitet werden. d)richtig, da lipschitz stetige Abbildungen gleichmäßig stetig sind. e) richtig, da Hölderstetige Abbildungen gleichmäßig stetig sind. Beweis c) Vor: (X,dX),(Y,dY) metr. Räume A Teilmenge X; A beschränkt; f: X->Y gleichmäßig stetig. Beh: f(A) beschränkt. Bew: (Beweis durch Wiederspruch) Annahme: f(A) nicht beschränkt. O.B.d.A. A nicht nach oben beschränkt. k>0 sei vorgegeben.Konstruiere induktiv Folge (an)aus AIN mit dY(f(an+1),f(an))>k Also dY(f(a_m),f(a_n))>k f.a. n ungleich m. Nun ist f gleichmäßig stetig.D.h. f.a. e >0 existiert ein d>0 f.a. x,y aus X. gilt: dX(x,y)<d=>dY(f(x),f(y))<e setze: e:=k; finde auf Grund der gleichmäßigen stetigkeit von f ein d>0 so, dass dX(am,an)>d f.a. n ungleich m. Da A Teilmenge X beschränkt, reichen endlich viele d- Intervalle um A zu überdecken. Es müsste also 2 verschiedene an,am aus AIN geben, dessen Abstand kleiner wär als d. WIEDERSPRUCH! ist der Beweis so Ok, oder nicht??? Gruß N. |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 934 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:17: |
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Zwei spontane Anmerkungen: (1) Warum nimmst Du bei a) nicht einfach die Tangens-Funktion? Sie ist stetig und bildet ]0;p/2[ auf ]0,¥[ ab. (2) f(an+1)>f(an)+k würde eine Anordnung voraussetzen.
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1145 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:42: |
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Hi Ingo, a) stimmt, manchmal sieht man den Wald vor lauter Bäumen nicht... b) stimmt, auch da wird eine Ordnung verlangt. Wie müsste ich ohne Ordnung argumentieren? (Ich habe versucht den Beweis vom Fall "X=Y=IR übertragen, da gibt es natürlich eine Ordnung...) Wie könnte man den Beweis abändern, oder müsste man ihn ganz neu und anders führen? Gruß N. |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 936 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 13:57: |
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Ändere einfach deine Konstruktion indem Du sie auf beliebige metrische Räume überträgst. d(an+1,an)>k Im reellen ist die übliche Metrik ja gerade d(x,y)=|x-y| Der Rest sollte ok sein denke ich. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1146 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 14:12: |
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Hi Ingo, da du moderator bist kannst du ja in meinen Beitrag "korrigierent" eingreifen. ersetze einfach an der Stelle f(an+1)>f(an)+k durch dX(an+1,an)>k dann müsste alles in der Tat denke ich so stimmen. Und ich brauche nicht den ganzen Text nochmal kopieren, einfügen etc... könntest du das bitte machen? Gruß N. |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 937 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 16:42: |
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Erledigt. Allerdings solltest Du normalerweise deine eigenen Beiträge auch editieren können, indem Du den Notizzettel oben rechts anklickst. |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1508 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 16:59: |
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Hi Ingo, entschuldige wenn ich mich hier einmische, aber mir ist folgendes Aufgefallen: Wenn ich einen Beitrag schreibe und ihn absende, so fallen mir meistens erst Stunden später noch Fehler auf, wenn ich den Beitrag dann editieren will kommt immer die Antwort: Es sind 20 Minuten seit Absenden des Beitrages vergangen. Editieren nicht mehr möglich. Daher muss man dann wie Niels sagt meistens einen neuen Beitrag schreiben! mfg |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 938 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 20:29: |
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Dann ist das wohl eins der Sonderrechte, die man mit einem Mod-Account hat. War bisher davon ausgegangen, daß sich das nur auf das editieren fremder Beiträge bezieht. Da ich davon aber äußerst selten Gebrauch mache, war ich davon ausgegangen, daß man seine eigenen Beiträge immer editieren kann. Noch mal zum Beweis: In einem anderen Beitrag wird die diskrete Metrik erwähnt, was bei mir die Frage aufgeworfen hat, ob der Beweis oben wirklich lupenrein ist. Denn die Wahl von k würde bei der diskreten Metrik ja schon deutlich eingeschränkt sein(0<k<1). Man sollte vielleicht noch einmal darüber nachdenken, ob nicht doch noch irgendwo ein Haken im Beweis steckt. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1153 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Samstag, den 10. Juli, 2004 - 21:13: |
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Ja, an die diskrete Metrik habe ich gar nicht gedacht... aber wie du schon sagtest, wird wohl dann nur die Wahl von k beeinflusst wird, das würde aber meiner Meinung nach dem Beweis kein Abbruch tun, aber wie gesagt, sicher bin ich mir da nicht... Vieleicht hat ja jemand anderes einen anderen Beweis oder einen Tipp... N. |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 939 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 01:22: |
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Neues Problem: Aus dY(f(an+1),f(an))>k folgt nicht zwingend dY(f(am),f(an))>k "n¹m Abhilfevorschlag: Wähle an so, daß (2n-1)k < d(f(an),f(a0))< 2kn Wegen der angenommenen unbeschränkheit von f(A) ist das kein Problem. (Insofern ist der Einwand mit der diskreten Metrik überflüssig gewesen, da für sie ja f(A) sowieso beschränkt wäre)
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1156 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 09:52: |
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Hi Ingo, guter Vorschlag: Mit was komme ich den dan raus? ich wähle an so, daß (2n-1)k < dY(f(ann),f(a0))< 2kn Dann nehmen wir die Dreiecksungleichung und es gilt: dY(f(am),f(an))=<dy(f(am),f(a0))+dY(f(a0),f(an)) der zweite Summand ist kleiner 2kn wegen wahl von an, was ist aber mit dem ersten summanden?? N. (Beitrag nachträglich am 11., Juli. 2004 von Niels2 editiert) |
Ingo (Ingo)
Moderator Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 941 Registriert: 08-1999
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 12:20: |
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Du benutzt die Dreiecksungleichung in der "falschen" Form. Die Darstellung, die Du brauchst ist d(x,y)³d(x,z)-d(y,z) Demzufolge ist dY(f(am),f(an)) ³ dY(f(am),f(a0))- dY(f(an),f(a0)) > (2m-1)k - 2kn = (2(m-n)-1)k > k "m>n
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Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1157 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Sonntag, den 11. Juli, 2004 - 12:46: |
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Uppps, na denn konnte das ja nicht so funktionieren wie ich wollte, mit der anderen "Dreiecksungleichung ist es nun klar.... Gruß N. |
Niels2 (Niels2)
Senior Mitglied Benutzername: Niels2
Nummer des Beitrags: 1189 Registriert: 06-2001
| Veröffentlicht am Dienstag, den 20. Juli, 2004 - 07:56: |
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Ich habe mir nochmal meinen Beweis durchgelesen, wieso nimmt man hier die umgehekrte Dreiecksungleichung? Der "direkte Weg" ist doch immer der kürzeste, jedenfalls kürzer als der Weg über einen 3 Punkt Z. Oder sehe ich da mal wieder etwas vollkommen falsch? Gruß N. |
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