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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4232
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juli, 2004 - 08:03: | 
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Hi allerseits
Auch die Aufgabe LF 435 bezieht sich
auf eine zentralkollineare Abbildung.
Hierbei ist die Abbildungsgleichung vorgegeben.
Die Aufgabe lautet:
P(x/y) ist Originalpunkt, P´(x´/y´) der zugehörige Bildpunkt.
Die Abbildungsgleichungen einer zentrischen Kollineation
lauten:
x´= 2 x / (y+2)
y´= 5 y / (y+2)
a) Wie lauten die Gleichungen der Umkehrabbildung?
b) Man berechne die Koordinaten des Kollineationszentrums Z.
c) Man ermittle eine Gleichung der Kollineationsachse e.
d) Der Kreis k mit der Gleichung x^2 + y^2 = r^2 geht
in eine Parabel über. Man berechne r und den Parameter p
der Parabel.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1480
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juli, 2004 - 11:51: |
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Hi megamath,
zunächst a)
Ich erhalte nach kurzer Rechung:
x = 5*x' / ( 5 - y' )
y = 2*y' / ( 5 - y' )
Z.B. kann man y' ganz leicht nach y auflösen, und dies dann in x' einsetzen!
Der Rest kommt später, jetzt muss ich meinen Computer zu Repertaur bringen, er läuft nicht mehr rund, daher bin ich so selten online! Hoffen wir auf Besserung...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4233
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juli, 2004 - 13:56: |
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Hi Ferdi
Die Gleichungen der Umkehrabbildung
sind richtig!
Meine besten Wünsche gelten Deinem PC
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1482
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juli, 2004 - 17:22: |
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Hi megamath,
hier folgt der Rest:
Da die Kollineationachse e und das Zentrum Fixpunkt bzw Gerade der Abbildung sind, muss gelten: x' = x , y' = y!
Man erhält:
x*y = 0 und y^2 - 3*y = 0, bzw:
x*y = 0 und y*(y-3) = 0
Also entweder y = 0 , die x-Achse, das wird dann die Kollineationachse, oder y = 3 ==> x = 0 , also der Punkt Z (0/3) , das Zentrum!
Setzt man nun die Gleichungen für x und y in die Kreisgleichung ein, man erhält:
25x'^2 + 10r^2y' + (4-r^2)y^2 - 25r^2 = 0
Daraus wir eine Parabel, wenn der Faktor vor y'^2 entfällt, also r = 2 !
Man erhält:
y = -5/8*x^2 + 5/2
Eine Parabel mit dem Scheitel S (0 | 5/2) und dem Parameter p = -4/5, bzw. wenn man den Betrag betrachtet: 4/5.
mfg
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4234
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 02. Juli, 2004 - 19:22: |
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Hi Ferdi
Das ist alles richtig,auch die Methode.
Bravo und besten Dank!
Müsste man nur r bestimmen,so findet man
die Lösung sofort durch eine kurze Betrachtung
der Nenner in den gegebenen
Abbildungsgleichungen;
warum?
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1483
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 00:53: |
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Hi megamath,
nach langer Betrachtung kommt für mich nur folgendes in Frage:
y + 2 = 0
y = -2
Wenn der Kreis diese Gerade berührt, so geht er bei der Kollineation in eine Parabel über. Dies tut er gerade für r = 2! Aber genaueres kann ich nicht sagen!
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4235
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 08:41: |
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Hi Ferdi
Das Genauere besteht darin, dass die lineare Gleichung
y + 2 = 0,
die durch Nullsetzen der Nenner entsteht,
die Fluchtgerade (Gegenachse v des Kreissystems)
darstellt.
Diese Gerade enthält alle Punkte, deren Bilder
unendlich fern sind.
Damit eine Parabel entsteht, muss k die Gerade v berühren.
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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