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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4237 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 11:13: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 436. Für die hier involvierte zentralkollineare Abbildung. sind wiederum die Abbildungsgleichungen vorgegeben. Die Aufgabe lautet: P(x/y) ist Originalpunkt, P´(x´/y´) der zugehörige Bildpunkt. Die Abbildungsgleichungen einer zentrischen Kollineation lauten: x´= 6 x / (x+3) y´= 6 y / (x+3) a) Wie lauten die Gleichungen der Umkehrabbildung? b) Man berechne die Koordinaten des Kollineationszentrums Z und ermittle eine Gleichung der Kollineationsachse e. c) Der Kreis k mit der Gleichung (x-1)^2 + y^2 = r^2 soll in eine Normalhyperbel übergehen. Man berechne den Radius r von k. d) Man ermittle den Mittelpunkt und die Asymptoten der Hyperbel sowohl rechnerisch als auch konstruktiv. Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4238 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 14:03: |
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Hi allerseits Eine Korrektur: Die neue Aufgabe trägt die Nummer 436, nicht 346 Eine kleine Hilfe: Man verwende wiederum die Gegenachse v mit dem Kollineationsszentrum Z, damit r sofort bestimmt werden kann. Die Asymptoten müssen aufeinander senkrecht stehen, ihr Zwischenwinkel ist 2*45° Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1487 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 16:41: |
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Hi megamath, hier meine Rechnung: x' = 6x/(x+3) y' = 6y/(x+3) ==> x = 3x'/(6-x') y = 3y'/(6-x') Setze ich x' = x und y' = y , so erhahlte ich das Zentrum Z (0/0) und Achse e: x = 3! Setze ich für x und y die Abbildunggleichungen ein und vereinfache: (16-r^2)x'^2 - (48 - 12r^2)x' + 9y'^2 + 36(1-r^2) = 0 Es soll eine Normalhyperbel entstehen, also müssen die Koeffizienten vor x'^2 bzw y'^2 entgegengesetzt gleich sein: 9 = -(16 - r^2) ==> r = 5 (x-1)^2 + y^2 = 25 Der Kreis schneidet die Gegenachse x = 3 in zwei Punkten, also entsteht bei der Kollineation eine Hyperbel: (x' - 14)^2 - y'^2 = 100 Eine Normalhyperbel mit den Halbachsen a = b = 10 und dem Mittelpunkt M(14 / 0)! Die Asymptoten lauten: y = x - 14 y = -x + 14 Wir überprüfen nun noch: Der Pol P der Gegenachse in Bezug auf k muss bei der Kollineation in M übergehen: x = -3 ==> P = (-21/4 | 0) Setzen wir die in die Abbildungsgleichungen ein: x' = 14 , y' = 0! Juhu! Die Konstruktion kommt später! mfg |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1488 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 17:03: |
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Hi megamath, hier die Konstruktion: Man schneide den Kreis mit der Gegenachse v, man erhält die Punkte U und V, sie sind die unendlichen fernen Berührpunkte der Asymptoten! U(-3/3), V(-3/-3) Nun lege man in diesen Punkten die Tangenten tU und tV, deren Bilder werden dann die Asymptoten! Diese Tangenten schneiden die Achse e in: tU: S1 (3/11) , tV: S2 (3/-11) Nun legen wir in diesen Punkten die Geraden mit der Steigung ZU und ZV! ZU = m1 = -1 ZV = m2 = 1 Wir haben die Asymptoten, diese schneiden sich im Mittelpunkt der Hyperbel: M(14/0)! Wir sehen m1*m2 = -1! Eine Normalhyperbel. Alles wie gehabt! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4239 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Samstag, den 03. Juli, 2004 - 17:41: |
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Hi Ferdi Sowohl die Berechnung als auch die Konstruktion sind richtig. Ein zweifaches Bravo! MfG H.R.Moser,megamath |
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