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Markus81 (Markus81)
Neues Mitglied
Benutzername: Markus81
Nummer des Beitrags: 5
Registriert: 06-2003
| | Veröffentlicht am Sonntag, den 27. Juni, 2004 - 01:26: | 
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hallo.
wir bereits die überschrift vermuten läßt, soll ich zeigen, daß Z[x] kein euklidischer bereich ist. ;)
zunächst vielleicht mal kurz zu unserer definition:
ein euklidischer bereich ist ein integritätsbereich R zusammen mit einer funktion d: R -> IN, für die gilt: für alle a,b e R mit b<>0 gibt es q,r e R, so daß
a=qb+r und ( d(r)<d(b) oder r=0 ).
falls R=K[x] mit einem körper K nimmt man für d üblicherweise die gradfunktion, d(x)=deg(x), das ganze ist dann einfach die division mit rest. daß das im falle R=Z[x] nicht funktioniert, ist klar.
(beweis: sei a=x, b=2x, a=qb+r => deg(r)>=1=deg(b) widerspruch!).
wie kann ich jetzt aber allgemein zeigen, daß es gar keine solche funktion d gibt, die die anforderungen erfüllt?
danke schon mal im voraus,
gruß
markus |
Thomas1796 (Thomas1796)
Neues Mitglied
Benutzername: Thomas1796
Nummer des Beitrags: 1
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 30. Juni, 2004 - 11:34: |
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Hallo!
Da ja jeder Euklidische Ring (Bereich) auch ein Hauptidealring (Bereich) ist (aber nicht umgekehrt), reicht es zu zeigen, dass Z[X] kein Hauptidealring ist. Dafür musst du ein Ideal angeben, das kein Hauptideal ist, z.B. (2,X) (da ja in einem Hauptidealring jedes Ideal ein Hauptideal ist). Damit ergibt sich die Behauptung.
Gruss, th. |
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