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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4197
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 15:25: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 426.
In dieser Aufgabe soll ein Kegelschnitt (KS)
aus zwei Tangenten und drei Punkten bestimmt werden
Der KS soll die beiden Koordinatenachsen beruehren
und durch die Punkte P1(3/4) , P2(4/3) , P3(6/6) gehen.
Es sollen die Koordinaten der Beruehrungspunkte auf den
Koordinatenachsen berechnet werden, c´est tout.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1450
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 17:17: |
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Hi megamath,
hier mal mein Vorschlag, der aber immmer irgendwie stecken bleibt!
KS: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0
KS geht durch P1:
9A + 12B + 16C + 3D + 4E + F = 0
Durch P2:
16A + 12B + 9C + 4D + 3E + F = 0
Duch P3:
36A + 36B + 36C + 6D + 6E + F = 0
x-Achse ist Tangtente = 1 Berührpunkt:
Ax^2 + Dx + F = 0
D^2 - 4AF = 0
y-Achse ist Tangente = 1 Berührpunkt:
Cy^2 + Ey + F = 0
E^2 - 4CF = 0
Jetzt könnte ich schon mal F=1 setzen und habe 5 Gleichungen mit 5 unbekannten, die Eliminierung erweist sich jedoch als recht hartnäckig...
Bin ich hier auf dem richtigen Weg? Oder sollte man anders vorgehen?
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4199
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 18:02: |
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Hi Ferdi
Du bist schon auf dem richtigen Weg.
Morgen habe ich hoffentlich Zeit,naeher auf das Problem einzugehen.
Die konstruktive Loesung kann auf zwei Wegen
ausgefuehrt werden.
Der eine Weg ist uns von einer frueheren
Aufgabe her bekannt (Asymptotenaufgabe).
MfG
H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1452
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 23:00: |
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Hi megamath,
also das einzige was ich bis jetzt noch zusammen gebracht habe, die 3x5 Matrix nach Gauss zu reduzieren:
| 9A | 12B | 16B | 3D | 4E | 1 | | 0 | 12B | 28C | 6D | 10E | 3 | | 0 | 0 | 21C | 30D | 33E | 14 |
dazu noch:
D^2 = 4A und E^2 = 4C
Aber jeder weitere Versuch bleibt an höherwertigen Gleichungen hängen...
Ich bin auch mal wieder gespannt auf die Konstruktion, komplette Kegelschnitte habe ich bis jetzt nie so konstruiert...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4200
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 09:00: |
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Hi Ferdi
Ich versuche, die Rechnung unter dem Motto
„divide et impera (teile und herrsche)“
auszuführen.
Vieles, das auf uns zukommen wird, ist aus
Symmetriegründen voraussehbar!
Meine Rechnung geht so:
KS: Ax^2 + 2 Bxy + Cy^2 + 2 Dx +2 Ey + F = 0
(Hihi: achte auf die Zweier!).
Normierung:
F = 1………………………………………………………………………..(1)
KS berührt die x-Achse:
Diskriminante 4 D^2 – 4 A = 0 ; weg mit der Vier!
KS berührt die y-Achse:
Diskriminante 4 E^2 – 4 C = 0 ; weg mit der Vier!
also:
D^2 = A; E^2 = C………………………………………………….(2)
KS durch (3/4):
9 A +24 B + 16 C + 6 D + 8 E + 1 = 0…………………(3)
KS durch (4/3):
16 A +24 B + 9 C + 8 D + 6 E + 1 = 0…………………(4)
Wir bilden die Differenz (4) - (3); es entsteht:
7 A – 7 C + 2 D – 2 E = 0……………………………………….(5)
Mit (2):
7 D^2- 7 E^2 + 2 D – 2 E = 0……………………………….(6)
Faktorzerlegung von (6):
7 (D + E)(D - E) + 2 (D - E) = 0…………………………….(7)
Fallunterscheidung
(I) D=E
(II) D nicht E --->>> 7 D + 7 E + 2 = 0
Wir behandeln zunächst nur (I)
Mit D = E kommt sofort A = C.
nicht zu vergessen:
KS geht durch (6/6), also:
36 A + 72 B + 36 C +12 D +12 E + 1 = 0…………..(8)
Durch Elimination von A, B , C und E entsteht
die quadratische Gleichung in D:
3 D^2 + 18 D + 2 = 0
mit den Loesungen
a)
D = -3 + 5/3 sqrt(3)
b)
D = -3 - 5/3 sqrt(3)
Fortsetzung folgt.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4201
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 09:24: |
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Hi Ferdi
Fortsetzung meines Lösungsvorschlags
1.Teil:Fall Ia)
Wir erhalten die folgenden Werte für die uebrigen Koeffizienten:
A = C = 52/3-10 sqrt(3)
B = - 1177/72 + 85/9 sqrt(3)
D = E = - 3 + 5/3 sqrt(3)
Die Berührungspunkte X und Y auf den Koordinatenachsen
erhält man als Doppellösungen der quadratischen Gleichungen
Auf der x-Achse:
Ax^2 + 2D x + 1 = 0 ;daraus X = -D/A ~ 8,83
Auf der y-Achse:
Cy^2 + 2E y + 1 = 0 ;daraus Y = -E/C ~ 8,83
Wir erkennen die Symmetrie bezüglich der Achse y = x !
2.Teil:Fall Ib)
Wir erhalten die folgenden Werte für die uebrigen Koeffizienten:
A = C = 52/3+10 sqrt(3)
B = - 1177/72 - 85/9 sqrt(3)
D = E = - 3 - 5/3 sqrt(3)
Die Berührungspunkte X und Y auf den Koordinatenachsen
erhält man als Doppellösungen der quadratischen Gleichungen
Auf der x-Achse:
Ax^2 + 2D x + 1 = 0 ;daraus X = -D/A ~ 0,16987
Auf der y-Achse:
Cy^2+2E y + 1 = 0 ;daraus Y = -E/C ~ 0,16987
Wir erkennen die Symmetrie bezüglich der Achse y = x !
Wir sind ein Stück weiter gekommen!
Mit freundlichen Grüßen
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1453
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 11:41: |
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Hi megamath,
ich sehe schon, ohne eine gehörige Portion "Insiderwissen" kommt man hier wohl nicht weiter...
Ich hätte mich gestern auch totrechnen können! Wenn ich dann sehe wie relativ einfach es doch sein kann!
mfg |
