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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4197 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 15:25: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 426. In dieser Aufgabe soll ein Kegelschnitt (KS) aus zwei Tangenten und drei Punkten bestimmt werden Der KS soll die beiden Koordinatenachsen beruehren und durch die Punkte P1(3/4) , P2(4/3) , P3(6/6) gehen. Es sollen die Koordinaten der Beruehrungspunkte auf den Koordinatenachsen berechnet werden, c´est tout. MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1450 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 17:17: |
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Hi megamath, hier mal mein Vorschlag, der aber immmer irgendwie stecken bleibt! KS: Ax^2 + Bxy + Cy^2 + Dx + Ey + F = 0 KS geht durch P1: 9A + 12B + 16C + 3D + 4E + F = 0 Durch P2: 16A + 12B + 9C + 4D + 3E + F = 0 Duch P3: 36A + 36B + 36C + 6D + 6E + F = 0 x-Achse ist Tangtente = 1 Berührpunkt: Ax^2 + Dx + F = 0 D^2 - 4AF = 0 y-Achse ist Tangente = 1 Berührpunkt: Cy^2 + Ey + F = 0 E^2 - 4CF = 0 Jetzt könnte ich schon mal F=1 setzen und habe 5 Gleichungen mit 5 unbekannten, die Eliminierung erweist sich jedoch als recht hartnäckig... Bin ich hier auf dem richtigen Weg? Oder sollte man anders vorgehen? mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4199 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 18:02: |
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Hi Ferdi Du bist schon auf dem richtigen Weg. Morgen habe ich hoffentlich Zeit,naeher auf das Problem einzugehen. Die konstruktive Loesung kann auf zwei Wegen ausgefuehrt werden. Der eine Weg ist uns von einer frueheren Aufgabe her bekannt (Asymptotenaufgabe). MfG H.R.Moser,megamath |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1452 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Montag, den 21. Juni, 2004 - 23:00: |
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Hi megamath, also das einzige was ich bis jetzt noch zusammen gebracht habe, die 3x5 Matrix nach Gauss zu reduzieren:
9A | 12B | 16B | 3D | 4E | 1 | 0 | 12B | 28C | 6D | 10E | 3 | 0 | 0 | 21C | 30D | 33E | 14 | dazu noch: D^2 = 4A und E^2 = 4C Aber jeder weitere Versuch bleibt an höherwertigen Gleichungen hängen... Ich bin auch mal wieder gespannt auf die Konstruktion, komplette Kegelschnitte habe ich bis jetzt nie so konstruiert... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4200 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 09:00: |
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Hi Ferdi Ich versuche, die Rechnung unter dem Motto „divide et impera (teile und herrsche)“ auszuführen. Vieles, das auf uns zukommen wird, ist aus Symmetriegründen voraussehbar! Meine Rechnung geht so: KS: Ax^2 + 2 Bxy + Cy^2 + 2 Dx +2 Ey + F = 0 (Hihi: achte auf die Zweier!). Normierung: F = 1………………………………………………………………………..(1) KS berührt die x-Achse: Diskriminante 4 D^2 – 4 A = 0 ; weg mit der Vier! KS berührt die y-Achse: Diskriminante 4 E^2 – 4 C = 0 ; weg mit der Vier! also: D^2 = A; E^2 = C………………………………………………….(2) KS durch (3/4): 9 A +24 B + 16 C + 6 D + 8 E + 1 = 0…………………(3) KS durch (4/3): 16 A +24 B + 9 C + 8 D + 6 E + 1 = 0…………………(4) Wir bilden die Differenz (4) - (3); es entsteht: 7 A – 7 C + 2 D – 2 E = 0……………………………………….(5) Mit (2): 7 D^2- 7 E^2 + 2 D – 2 E = 0……………………………….(6) Faktorzerlegung von (6): 7 (D + E)(D - E) + 2 (D - E) = 0…………………………….(7) Fallunterscheidung (I) D=E (II) D nicht E --->>> 7 D + 7 E + 2 = 0 Wir behandeln zunächst nur (I) Mit D = E kommt sofort A = C. nicht zu vergessen: KS geht durch (6/6), also: 36 A + 72 B + 36 C +12 D +12 E + 1 = 0…………..(8) Durch Elimination von A, B , C und E entsteht die quadratische Gleichung in D: 3 D^2 + 18 D + 2 = 0 mit den Loesungen a) D = -3 + 5/3 sqrt(3) b) D = -3 - 5/3 sqrt(3) Fortsetzung folgt. MfG H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4201 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 09:24: |
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Hi Ferdi Fortsetzung meines Lösungsvorschlags 1.Teil:Fall Ia) Wir erhalten die folgenden Werte für die uebrigen Koeffizienten: A = C = 52/3-10 sqrt(3) B = - 1177/72 + 85/9 sqrt(3) D = E = - 3 + 5/3 sqrt(3) Die Berührungspunkte X und Y auf den Koordinatenachsen erhält man als Doppellösungen der quadratischen Gleichungen Auf der x-Achse: Ax^2 + 2D x + 1 = 0 ;daraus X = -D/A ~ 8,83 Auf der y-Achse: Cy^2 + 2E y + 1 = 0 ;daraus Y = -E/C ~ 8,83 Wir erkennen die Symmetrie bezüglich der Achse y = x ! 2.Teil:Fall Ib) Wir erhalten die folgenden Werte für die uebrigen Koeffizienten: A = C = 52/3+10 sqrt(3) B = - 1177/72 - 85/9 sqrt(3) D = E = - 3 - 5/3 sqrt(3) Die Berührungspunkte X und Y auf den Koordinatenachsen erhält man als Doppellösungen der quadratischen Gleichungen Auf der x-Achse: Ax^2 + 2D x + 1 = 0 ;daraus X = -D/A ~ 0,16987 Auf der y-Achse: Cy^2+2E y + 1 = 0 ;daraus Y = -E/C ~ 0,16987 Wir erkennen die Symmetrie bezüglich der Achse y = x ! Wir sind ein Stück weiter gekommen! Mit freundlichen Grüßen H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1453 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Dienstag, den 22. Juni, 2004 - 11:41: |
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Hi megamath, ich sehe schon, ohne eine gehörige Portion "Insiderwissen" kommt man hier wohl nicht weiter... Ich hätte mich gestern auch totrechnen können! Wenn ich dann sehe wie relativ einfach es doch sein kann! mfg |