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Lockere Folge 421 : Konjugierte Durch...

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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4179
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 16:39:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Die Aufgabe LF 421 ist wiederum der Hyperbel gewidmet;
sie lautet:
Man berechne die Längen 2 k1 und 2 k2 zweier konjugierter
Durchmesser der Hyperbel
b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2, wenn die Gleichung y = mx eines
Durchmessers vorliegt.
Man bestimme auch die Differenz
k1 ^ 2 - k2^2

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1441
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 19:31:   Beitrag drucken

Hi megamath,

mal eine Frage:

Die Schnittpunkt einer Geraden durch Ursprung ergeben sich als:

x = a*b / sqrt(b^2 - a^2*m^2)
y = m*a*b / sqrt(b^2 - a^2*m^2)

Nimmt man jetzt aber die Gerade y = x und die Hyperbel mit a = 3 , b = 2, so gibt es keine Schittpunkte mit der man eine Länge berechnen könnte ( wohl aber beim konjugierten Durchmesser : y = 4/9*x )!

Oder nutzt man hier den Satz:
" Die Länge des Durchmessers ist gleich dem von den Asymptoten begrenzten Stück der ihm parallelen Hyperbeltangenten. " ??

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4180
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 21:03:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Die Aufgabe kann und soll gerettet werden;
das geht,wenn man mit der gegebenen Hyperbel die so genannte
konjugierte Hyperbel betrachtet.
Die Gleichung dieser zugeordneten Hyperbel lautet:
-b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2 b^2

Dieser Hinweis fehlte leider in der Aufgabenstellung !

Mehr davon morgen!

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1442
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 23:08:   Beitrag drucken

Hi megamath
,

ich glaube ich habe es verstanden!

Hat die Differenz den schönen, von m unabhängigen Wert:

k1^1 - k2^2 = a^2 - b^2 ??

Dann habe ich für die Längen:

2*k1 = 2*a*b*sqrt([1+m^2] / [b^2 - a^2*m^2])
2*k2 = 2*sqrt([a^4*m^2 + b^4] / [b^2 - a^2*m^2])

Immer vorrausgesetzt:
-b/a < m < b/a

Für m = +-b/a erhalten wir die Asymptoten!

Mir ist grade noch was aufgefallen :
Ist es eigentlich so, dass eine Asymptote zu sich selbst der konjugierte Durchmesser ist?? Müsste ja so sein, da die Steigung m = b/a mit sich selbst multpliziert gerade b^2/a^2 ergibt. Ein wenig schwer vorzustellen, vielleicht liegts an der späten Stunde...

mfg

(Beitrag nachträglich am 19., Juni. 2004 von tl198 editiert)
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4181
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Samstag, den 19. Juni, 2004 - 08:39:   Beitrag drucken

Hi Ferdi

Deine Berechnungen und Gedankengänge sind richtig!

Zum Thema:
Die beiden Hyperbeln
h1: b^2 x^2 – a^2 y^2 = a^2 b^2
h2: - b^2*x^2 + a^2*y^2 = a^2 b^2
gehören zusammen wie
YIN und YAN (siehe bei Google nach)!

Wir haben erfahren, dass sich die fuer die Ellipse gueltigen
Saetze ueber konjugierte Halbmesser, die schon Apollonius
bekannt waren, nicht ohne weiteres auf die Hyperbel
uebertragen lassen.
Benuetzt man die zu h1 konjugierte Hyperbel h2,
so ist die Welt wieder in Ordnung;
es gilt k1^ 2 – k2 ^2 = a^2 – b^2.

Fuer die Hyperbel ist die Differenz der Quadrate
konjugierter Halbmesser konstant.
Diese Konstante a^2 – b^2 ist positiv fuer eine Hyperbel,
die in den spitzen Winkelraeumen der Asymptoten liegt
und negativ im andern Fall.
Fuer eine gleichseitige Hyperbel (Normalhyperbel)
ist diese Konstante null.

Die Rolle der Asymptoten soll in einem spaetern Beitrag
besprochen werden.

MfG
H.R.Moser,megamath

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