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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4171 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 10:07: |
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Hi allerseits Aufgabe LF 418 Durch den Punkt P1(x1/y1) soll die Sehne der Hyperbel b^2 x^2 - a^2 y ^2 = a^2 b^2 gelegt werden, die in P1 halbiert wird. Wie lautete de Gleichung einer solchen Sehne für das numerische Beispiel Punkt P1(6/1) , Hyperbel 4 x^2 - 9 y^2 = 36 ? MfG H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1435 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 15:52: |
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Hi megamath, wäre eine mögliche Sehne(für das numerische Beispiel): y = (8/3)*x - 15 vom Punkt P ( 6|1 ) haben beide Sehnenteile ungefähr die Länge: ~ 3,6583 . Insegamt ist die Länge der Sehne ~ 7,3166. Wenn das so passt, kommt heute abend meine Idee dahinter, also der allgemeine Fall... mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4173 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 16:14: |
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Hi Ferdi Dein Resultat ist richtig! age,agedum! MfG H.R.Moser,megamath MfG H.R.Moder |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1437 Registriert: 10-2002
| Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 22:30: |
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Hi megamath, hier meine Überlegungen: Legen wir einen Durchmesser an die Hyperbel, der durch den Punkt P geht: y = (y1 / x1) * x Nun legen wir die Sehne durch P, und zwar mit der zum Durchmesser konjugierten Steigung! Es gilt: m1 * m2 = b^2 / a^2 Da m1 = (y1 / x1) folgt m2 = (b^2*x1)/(a^2*y1)! Die Sehnengerade lautet also: y = (b^2*x1)/(a^2*y1) * x + ( y1 - (b^2*x1^2)/(a^2*y1) ) Ich bin dabei von folgendem Sachverhalt bei Ellipsen ausgegangen und habe ihn auf Hyperbeln übertragen: Zieht man zu einer Ellipse in Normalengleichung zu der Geraden y = mx + b Parallele Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte auf dem konjugierten Durchmesser zu y = mx, d.h. auf y = -(b^2/(a^2*m))! Wir übertragen das auf Hyperbeln und nehmen uns von den Sehnen, diese die durch P läuft! Und alles löst sich in wohlgefallen auf! mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4176 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 12:26: |
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Hi Ferdi Deine Überlegungen und Berechnungen sind richtig. Ich habe zwei Versionen zur Lösung: (I) Steigung m1 des Hyperbeldurchmessers OP1: m1 = y1/x1. Dazu gehört die Steigung m2 der konjugierten Richtung. Aus m1*m2 = b^2 / a^2 folgt m2 = b^2 * x1 / (a^2 * y1) Die Gerade, auf der die gesuchte Sehne liegt, geht durch P1 und hat die Steigung m2. Somit lautet die Gleichung dieser Geraden: y – y1 = ( b^2 * x1 ) / (a^2 * y1) * (x-x1) Dein Lösungsweg geht damit konform. (II) folgt später. MfG H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4178 Registriert: 07-2002
| Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 13:13: |
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Hi allerseits Zweite Version für die Lösung der Aufgabe! Wir bestimmen die Polare p1 der Hyperbel b^2 x^2 – a^2 y ^2 = a^2 b^2 bezüglich des Pols P1(x1/y1) Die Polarisation der Hyperbelgleichung liefert für p1 die Gleichung b^2 x1 x – a^2 y1 y = a^2 b^2. Die in der Aufgabe gesuchte Gerade durch P1(x1/y1), auf der die fragliche Sehne liegt, ist zu p1 parallel; mithin lautete deren Gleichung b^2 x1 x – a^2 y1 y = b^2 x1 ^2 – a^2 y1^2 , was mit dem früheren Ergebnis auf den n-ten Blick übereinstimmt (n>1). MfG H.R.Moser,megamath
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