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Lockere Folge 417 : Konjugierte Durch...

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Megamath (Megamath)
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Senior Mitglied
Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4167
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 09:06:   Beitrag drucken

Hi allerseits

Aufgabe LF 417.
In dieser Aufgabe treten konjugierte Durchmesser der Hyperbel
H : b ^ 2 * x^2 – a ^ 2 * y^2 = a^2 b^2
auf.

Zwei Gerade g1 und g2 durch den Mittelpunkt O der Hyperbel
sind konjugierte Durchmesser der Hyperbel, wenn für ihre Steigungen
m1 und m2 die Relation
m1 * m2 = b^2 / a^2 erfuellt ist.
Es gelten analoge Eigenschaften fuer solche Hyperbeldurchmesser
wie für konjugierte Durchmesser der Ellipse.

Die Aufgabe lautet:
Gegeben sind die Hyperbel H und der Kreis K:
x ^ 2 = 2 b y - y ^ 2 sowie zwei konjugierte Durchmesser g1, g2
der Hyperbel, welche die Parallele y = b zur x-Achse in den Punkten
P1 und P2 schneiden.

a)
Man zeige, dass P2 aus P1 durch Spiegelung am Kreis K hervorgeht.

b)
Zu den konjugierten Durchmessern g1, g2 gesellen sich die beiden
Asymptoten a1,a2 der Hyperbel.
Welche famose Aussage kann nach der Teilaufgabe a) über die vier
Geraden g1, g2 ,a1 ,a2 bezüglich ihrer gegenseitigen Lage gemacht
werden (Fachausdruck)?

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1431
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 12:15:   Beitrag drucken

Hi megamath,

ich habe versucht a) zu lösen, aber immer kommt dasselbe Ergebniss:

Spiegelt man einen Punkt P1 an einem Kreis mit dem Mittelpunkt M und dem Radius r zu P2, so muss gelten:

|MP1| * |MP2| = r^2

Der Kreismittelpunkt hier hat die Koordinaten ( 0 / b ) und den Radius b!

Die Schnittpunkte der Geraden y = b mit den Konjugierten Durchmessern,

y = m1 * x
y = b^2/(a^2 * m1) * x

Sind:
P1 ( b/m1 | b)
P2 ( (a^2*m1)/b | b )

Bilde ich nun |MP1|*|MP2| so erhalte ich aber a^2! Wo liegt mein Denkfehler??

mfg
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Tl198 (Tl198)
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Senior Mitglied
Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1432
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 12:52:   Beitrag drucken

Hi megamath,

auch die zweite Methode liefert daselbe Ergebniss:

Verschieben wir alles um b, so dass M von k mit dem Ursprung zusammenfällt!

Wir erhalten:

X^2 + Y^2 = b^2

y = m1*x - b
y = b^2/(a^2*m1) * x - b

Wir erhalten die selben Schnittpunkte nur die y-Koordinate ist null!

Wir können nun die bekannten Formeln für die Inversion an Kreisen um den Ursprung anwenden:

x' = r^2 * x / (x^2 + y^2)
y' = r^2 * y / (x^2 + y^2)

Setzen wir unsere Werte ein, also:

P1 ( b/m1 | 0 )
P2 ( (a^2*m1)/b | 0 )

Für P1' ( b*m1 | 0 )
Für P2' ( b^3/(a^2*m1) | 0 )

Ist der Radius aber a, so erhalte ich:

P1' ( (a^2*m1)/b | 0 )
P2' ( b/m1 | 0 )

Meiner Meinung nach müsste der Kreis so lauten:

x^2 + (y-b)^2 = a^2

Die Asymptoten sind auch schnell berechnet:

y = b/a*x
y = -b/a*x

Über die Lage der vier Geraden kann ich aber so nichts sagen, nur, dass sie alle durch den Ursprung gehen !

mfg
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4168
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 13:35:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Ein Eigengoal von mir!
Der Fehler kann auch ausserhalb des eigenen Denkapparates liegen,z.B.bei mir.

Probiere es mit dem Kreis
K:
x^2 + (y-b)^2 = a^2

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4169
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 13:52:   Beitrag drucken

Hi Ferdi



Ich habe meinen letzten Beitrag,die Korrektur,
ins Netz gestellt, bevor ich Deinen letzten Beitrag gesehen hatte.
Wir haben auf dieselbe Seite hin
auskorrigiert,zum Glück!

ad b)
U und V seien die Asymptotenschnittpunkte
auf y = b.
Untersuche die besondere Lage der vier Punkte
U,V, P1 ,P2 auf dieser Parallelen y = b.
Die Sprechweise uebertraegt sich auch auf die genannten vier Ursprungsgeraden.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath

Nummer des Beitrags: 4170
Registriert: 07-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 14:32:   Beitrag drucken

Hi allerseits,



Loesung der Teilaufgabe b):

Die Punkte P1 und P2 teilen die Strecke UV innen beziehungsweise
aussen im gleichen Verhältnis;
ihr Doppelverhaeltnis bezueglich UV als Grundstrecke ist gleich minus 1.
Man sagt: die Punkte U , V , P1 , P2 sind harmonisch oder sie bilden
eine harmonische Punktgruppe.

Verbindet man irgendeinen Punkt O ausserhalb der Geraden, auf der
die harmonischen Punkte liegen, mit jedem einzelnen Punkt der Gruppe,
so bilden diese vier Geraden eine Gruppe harmonischer Geraden.
Schneidet man diese vier Geraden mit einer weitern Geraden gg,
so entsteht auf gg wiederum eine harmonische Punktgruppe.

Quintessenz:
Zwei Durchmesser einer Hyperbel sind genau dann konjugiert,
wenn sie mit den Asymptoten eine harmonische Strahlengruppe bilden.

MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
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Benutzername: Tl198

Nummer des Beitrags: 1433
Registriert: 10-2002
Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 19:27:   Beitrag drucken

Hi megamath,

Fehler passieren! Davor ist glaube ich niemand geschützt!

Dafür wäre ich zum Beispiel nicht auch die harmonische Teilung gekommen!!

mfg

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