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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4171
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 10:07: | 
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Hi allerseits
Aufgabe LF 418
Durch den Punkt P1(x1/y1) soll die Sehne der Hyperbel
b^2 x^2 - a^2 y ^2 = a^2 b^2 gelegt werden, die in P1 halbiert wird.
Wie lautete de Gleichung einer solchen Sehne für das numerische Beispiel
Punkt P1(6/1) , Hyperbel 4 x^2 - 9 y^2 = 36 ?
MfG
H.R.Moser,megamath
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Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1435
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 15:52: |
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Hi megamath,
wäre eine mögliche Sehne(für das numerische Beispiel):
y = (8/3)*x - 15
vom Punkt P ( 6|1 ) haben beide Sehnenteile ungefähr die Länge: ~ 3,6583 . Insegamt ist die Länge der Sehne ~ 7,3166.
Wenn das so passt, kommt heute abend meine Idee dahinter, also der allgemeine Fall...
mfg |
Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4173
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 16:14: |
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Hi Ferdi
Dein Resultat ist richtig!
age,agedum!
MfG
H.R.Moser,megamath
MfG
H.R.Moder |
Tl198 (Tl198)
Senior Mitglied
Benutzername: Tl198
Nummer des Beitrags: 1437
Registriert: 10-2002
| | Veröffentlicht am Donnerstag, den 17. Juni, 2004 - 22:30: |
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Hi megamath,
hier meine Überlegungen:
Legen wir einen Durchmesser an die Hyperbel, der durch den Punkt P geht:
y = (y1 / x1) * x
Nun legen wir die Sehne durch P, und zwar mit der zum Durchmesser konjugierten Steigung!
Es gilt: m1 * m2 = b^2 / a^2
Da m1 = (y1 / x1) folgt m2 = (b^2*x1)/(a^2*y1)!
Die Sehnengerade lautet also:
y = (b^2*x1)/(a^2*y1) * x + ( y1 - (b^2*x1^2)/(a^2*y1) )
Ich bin dabei von folgendem Sachverhalt bei Ellipsen ausgegangen und habe ihn auf Hyperbeln übertragen:
Zieht man zu einer Ellipse in Normalengleichung zu der Geraden y = mx + b Parallele Sehnen, so liegen deren Mittelpunkte auf dem konjugierten Durchmesser zu y = mx, d.h. auf y = -(b^2/(a^2*m))!
Wir übertragen das auf Hyperbeln und nehmen uns von den Sehnen, diese die durch P läuft! Und alles löst sich in wohlgefallen auf!
mfg |
Megamath (Megamath)
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Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4176
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 12:26: |
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Hi Ferdi
Deine Überlegungen und Berechnungen sind richtig.
Ich habe zwei Versionen zur Lösung:
(I)
Steigung m1 des Hyperbeldurchmessers OP1: m1 = y1/x1.
Dazu gehört die Steigung m2 der konjugierten Richtung.
Aus m1*m2 = b^2 / a^2 folgt m2 = b^2 * x1 / (a^2 * y1)
Die Gerade, auf der die gesuchte Sehne liegt, geht durch P1
und hat die Steigung m2. Somit lautet die Gleichung dieser
Geraden:
y – y1 = ( b^2 * x1 ) / (a^2 * y1) * (x-x1)
Dein Lösungsweg geht damit konform.
(II)
folgt später.
MfG
H.R.Moser,megamath
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Megamath (Megamath)
Senior Mitglied
Benutzername: Megamath
Nummer des Beitrags: 4178
Registriert: 07-2002
| | Veröffentlicht am Freitag, den 18. Juni, 2004 - 13:13: |
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Hi allerseits
Zweite Version für die Lösung der Aufgabe!
Wir bestimmen die Polare p1 der Hyperbel
b^2 x^2 – a^2 y ^2 = a^2 b^2 bezüglich des Pols P1(x1/y1)
Die Polarisation der Hyperbelgleichung liefert für p1 die
Gleichung
b^2 x1 x – a^2 y1 y = a^2 b^2.
Die in der Aufgabe gesuchte Gerade durch P1(x1/y1), auf der die
fragliche Sehne liegt, ist zu p1 parallel; mithin lautete deren Gleichung
b^2 x1 x – a^2 y1 y = b^2 x1 ^2 – a^2 y1^2 ,
was mit dem früheren Ergebnis auf den n-ten Blick übereinstimmt
(n>1).
MfG
H.R.Moser,megamath
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