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Senarda (Senarda)
Neues Mitglied
Benutzername: Senarda
Nummer des Beitrags: 2
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Dienstag, den 15. Juni, 2004 - 17:33: | 
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Hallo! Hat jemand eine Idee?
Ich versuche die ganze Zeit an der Aufgabe herum und komm' einfach nicht drauf.
Man zeige:
Sei a,b aus N. Es gilt: a teilt b2, b2 teilt a3, a3 teilt b4, b4 teilt a5, ...
Dann ist a = b.
LG
senarda |
Ingo (Ingo)
Moderator
Benutzername: Ingo
Nummer des Beitrags: 907
Registriert: 08-1999
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 00:22: |
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Was sind denn die ai und bi? Teiler von a und b? |
Senarda (Senarda)
Neues Mitglied
Benutzername: Senarda
Nummer des Beitrags: 4
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 12:49: |
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Hi, hab ich jetzt also auch noch Formatierungsprobleme?!
Die Ziffern hinter a und b sollten jeweils Hochzahlen sein; also:
a teilt b^2, b^2 teilt a^3, etc...
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Zaph (Zaph)
Senior Mitglied
Benutzername: Zaph
Nummer des Beitrags: 1669
Registriert: 07-2000
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 16. Juni, 2004 - 22:03: |
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Hallo!
Sei p eine beliebige Primzahl. Wähle r,s >= 0 maximal, sodass p^r ein Teiler von a und p^s ein Teiler von b ist.
Zeige: r = s.
Da a^(2k-1) ein Teiler von b^(2k) für k = 1,2,3,... folgt, dass (p^r)^(2k-1) = p^(r(2k-1)) ein Teiler von (p^s)^(2k) = p^(2ks) ist. Also
r(2k-1) <= 2ks (*)
Da b^(2k) ein Teiler von a^(2k+1) für k = 1,2,3,... folgt, dass (p^s)^(2k) = p^(2ks) ein Teiler von (p^r)^(2k+1) = p^(r(2k+1)) ist. Also
2ks <= r(2k+1) (**)
Aus (*) folgt
r <= 2k/(2k-1) * s
Da 2k/(2k-1) -> 1 für k -> oo, folgt
r <= s.
Analog folgt aus (**), dass s <= r.
Z. |
Senarda (Senarda)
Junior Mitglied
Benutzername: Senarda
Nummer des Beitrags: 6
Registriert: 06-2004
| | Veröffentlicht am Mittwoch, den 23. Juni, 2004 - 20:35: |
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Hallo
Erstmal Danke für den Beweis.
Ich habe noch zwei Anmerkungen/Fragen dazu:
1. Wenn p beliebig ist, ist p nicht immer Teiler von a oder b, je nach dem was a und/oder b sind.(?) Zudem lassen sich a und b unter Umständen durch andere p's (Primfaktoren) - eindeutig - darstellen.
Dann ist der Ansatz/Beweis aber so nicht möglich, oder?
2. Falls der Beweis trotzdem ok ist: Das mit k gegen oo verstehe ich nicht. Bei den Zahlen "vor" oo ist r<=s vertauscht (d.h.: für die k vor oo ist r<=s und für k gegen oo s<=r und umgekehrt)?oder?
Gruß
senarda |
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